Question

8．已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）=a•2^x+b•3^x，其中常数a，b满足ab≠0．
（1）若函数y=g（x）为定义在R上的奇函数，且满足当x＞0时，g（x）=f（x），试求函数y=g（x）在R上的解析式；
（2）当b=1时，关于x的不等式f（x+1）＞f（x）在x∈（1，+∞）上恒成立，求a的取值范围；
（3）当ab＞0时，解关于x的不等式f（ax+1）＞f（bx）．

Answer 1

分析 （1）根据函数的奇偶性的性质即可求函数y=g（x）在R上的解析式；
（2）当b=1时，利用参数分离法，将f（x+1）＞f（x）在x∈（1，+∞）上恒成立，进行转化即可求a的取值范围；
（3）当ab＞0时，讨论函数在（0，+∞）上单调性，利用函数单调性的性质解不等式即可．

解答 解：（1）若函数y=g（x）为定义在R上的奇函数，则g（0）=0，
当x＞0时，g（x）=f（x）=a•2^x+b•3^x，
若x＜0，则-x＞0，
则g（-x）=f（-x）=a•2^-x+b•3^-x=-g（x），
则g（x）=-a•2^-x-b•3^-x，x＜0，
则函数y=g（x）在R上的解析式为g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{a•{2}^{x}+b•{3}^{x}，}&{x＞0}\\{0，}&{x=0}\\{-a•{2}^{-x}-b•{3}^{-x}，}&{x＜0}\end{array}\right.$；
（2）当b=1时，f（x）=a•2^x+3^x，
若不等式f（x+1）＞f（x）在x∈（1，+∞）上恒成立，
即a•2^x+1+3^x+1＞a•2^x+3^x，
即a•（2^x+1-2^x）+2•3^x＞0，
即a•2^x＞-2•3^x，
在a＞$-\frac{2•{3}^{x}}{{2}^{x}}$=-2•（$\frac{3}{2}$）^x，
设t=-2•（$\frac{3}{2}$）^x，
∵x∈（1，+∞）
∴t＜-2•（$\frac{3}{2}$）=-3，
故a≥-3，即a的取值范围是[-3，+∞）．
（3）当ab＞0时，则a，b同号，
①若a＞0，b＞0，则函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，
则不等式f（ax+1）＞f（bx）等价为ax+1＞bx，
即（a-b）x＞-1，若a≥b，则不等式恒成立，即此时解集为（-∞，+∞），
若a＜b，即a-b＜0，则x＜$\frac{-1}{a-b}$=$\frac{1}{b-a}$，此时不等式的解集为（0，$\frac{1}{b-a}$）．
②若a＜0，b＜0，则函数f（x）在（0，+∞）上为减函数，
此时bx＜0，不满足函数的定义域．此时不等式的解集为∅．

点评 本题主要考查函数解析式的求解，不等式恒成立，以及函数单调性的应用，综合考查函数的性质，运算量较大．