Question

设f(x)=

lnx-1

lnx+1

，若f（x₁）+f（ex₂）=1（其中x₁＞e，x₂＞e），则f（x₁x₂）的最小值为（　　）

• A．

  5- 5

  4

• B．

  4

  5

• C．

  3

  5

• D．

  2

  3

Answer 1

分析：令x₁=a，x₂=b其中a、b均大于e，由题意可依次推出

2

ln(ea)

+

2

ln(e 2•b)

=

1

2

，[ln（ea）+ln（e² b）≥8，ln（ab）≥5．再由f（x₁x₂）=f（ab）
=1-

2

1+lnab

≥1-

2

1+5

=

2

3

，从而求得f（x₁x₂）的最小值．

解答：解：令x₁=a，x₂=b其中a、b均大于e，∵函数f（x）=

lnx-1

lnx+1

=1-

2

1+lnx

，f（a）+f（eb）=1，其中a＞e，b＞e．
∴f（a）+f（eb）=2-2（

2

ln(ea)

+

2

ln(e 2•b)

）=1，∴

2

ln(ea)

+

2

ln(e 2•b)

=

1

2

．
∵[ln（ea）+ln（e² b）]•（

2

ln(ea)

+

2

ln(e 2•b)

）=2+

2ln(ea)

ln(e2b)

+

2ln(e 2b)

ln(ea)

+2≥4，∴[ln（ea）+ln（e² b）≥8，
∴ln（ab）≥5，∴f（x₁x₂）=f（ab）=1-

2

1+lnab

≥1-

2

1+5

=

2

3

，
故f（x₁x₂）的最小值为

2

3

，
故选D．

点评：本题考查函数最值及其几何意义，解题的关键是理解题意，对题设中所给的条件进行探究，逐步寻求它们与f（x₁x₂）的关系，判断出最小值，本题为了研究的方便采取了给两个变量进行赋值的方法，运算变形时少写了符号简化了计算，本题变形灵活，技巧性高，题后应好好总结，属于中档题．