Question

17．若f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，且对一切x，y＞0，满足f（xy）=f（x）+f（y）．
（1）求f（1）的值；
（2）若f（6）=1，解不等式f（x+3）-f（$\frac{1}{3}$）＜2．

Answer 1

分析 （1）利用赋值法直接求解即可．
（2）利用已知条件，结合函数的单调性转化不等式为代数形式的不等式，求解即可．

解答 解：（1）在f（xy）=f（x）+f（y）中，令x=y=1，则有f（1）=f（1）+f（1），
∴f（1）=0．…（4分）
（2）∵f（6）=1，∴2=1+1=f（6）+f（6），∴不等式f（x+3）-f（$\frac{1}{3}$）＜2
即f（x+3）＜f（6）+f（6）+f（$\frac{1}{3}$），∴f（x+3）＜f（12），
又f（x）是（0，+∞）上的增函数，
∴$\left\{\begin{array}{l}x+3＞0\\ \frac{x+3}{2}＜6\end{array}\right.$，解得-3＜x＜9，即解集为（-3，9）．…（12分）

点评 本题考查抽象函数的应用，函数的单调性以及赋值法的应用，考查转化思想以及计算能力．