Question

函数f（x）是R上的偶函数，且当x＞0时，函数的解析式为f(x)=

2

x

-1．
（1）用定义证明f（x）在（0，+∞）上是减函数；
（2）求当x＜0时，函数的解析式．

Answer 1

分析：（1）用函数的单调性定义证明f（x）在（0，+∞）上是减函数；
（2）应用偶函数的性质f（-x）=f（x），与x＞0时f（x）的解析式，可以求出x＜0时f（x）的解析式．

解答：解：（1）证明：∵f(x)=

2

x

-1，任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂；
则f（x₁）-f（x₂）=（

2

x1

-1）-（

2

x2

-1）=

2(x2-x1)

x1x2

；
∵0＜x₁＜x₂，∴x₂-x₁＞0，x₁x₂＞0；
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）；
∴f（x）在（0，+∞）上是减函数；
（2）当x＜0时，-x＞0，
∵x＞0时，f(x)=

2

x

-1，
∴f（-x）=

2

-x

-1=-

2

x

-1，
又∵f（x）是R上的偶函数，
∴f（-x）=f（x）
∴f（x）=-

2

x

-1；
即x＜0时，f（x）=-

2

x

-1．

点评：本题考查了函数的单调性定义与偶函数性质的应用问题，是基础题．