题目内容

已知定点P(-2，-1)和直线l:(1+3λ)x+(1+2λ)y-(2+5λ)=0(λ∈R).

求证：不论λ取何值时，点P到直线l的距离不大于.

剖析：若直接运用点到直线的距离公式，将P到l的距离d化为关于λ的函数，只需证明该函数的最大值是.或利用直线系方程，结合图形也可获证.

证法一：由点线距离公式，得

    d=

    =.

    又∵d2=

    =13-≤13,

    ∴d≤.

证法二：将原方程化为(x+y-2)+λ(3x+2y-5)=0,显然知l恒过直线x+y-2=0与3x+2y-5=0的交点Q(1,1)，如图，从几何直观可知，只需证明d≤|PQ|.

    由|PQ|==,

∴原命题得证.

练习册系列答案
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已知定点F1(-
2
，0)，F2(
2
，0)，动点P满足条件：|
PF2
|-|
PF1
|=2，点P的轨迹是曲线E，直线l：y=kx-1与曲线E交于A、B两点．如果|AB|=6
3
．
（Ⅰ）求直线l的方程；
（Ⅱ）若曲线E上存在点C，使
OA
+
OB
=m
OC
，求m的值．
已知定点P（2，1），分别在y=x及x轴上各取一点B与C，使△BPC的周长最小，则周长的最小值为
10
10
．
已知定点P（2，4）和圆O：x2+y2=4．
（Ⅰ）求过点P与圆O相切的切线方程．
（Ⅱ）直线l经过点P且与圆相交于A，B两点，若|AB|=2
2
，求直线l的方程．
已知定点P(-2，
3
)，F是椭圆
x2
16
+
y2
12
=1的左焦点，点M在椭圆上，若使|PM|+2|MF|最小，则点M的坐标为
 
．

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