题目内容
某地区的一种特色水果上市时间能持续5个月，预测上市初期和后期会因供不应求使价格呈连续上涨态势，而中期又将出现供大于求使价格连续下跌，现有三种价格模拟函数：①f（x）=p•qx；②f（x）=logqx+p；③f（x）=（x-1）（x-q）2+p（以上三式中p、q均为常数，且q＞2）．（1）为准确研究其价格走势，应选哪种价格模拟函数，为什么？
（2）若f（1）=4，f（3）=6，①求出所选函数f（x）的解析式（注：函数的定义域是[1，6]．其中x=1表示4月1日，x=2表示5月1日，…，以此类推）；②为保证果农的收益，打算在价格下跌期间积极拓宽外销，请你预测该水果在哪几个月内价格下跌．
【答案】分析：（1）欲找出能较准确反映数学成绩与考试序次关系的模拟函数，主要依据是呈现前几次与后几次均连续上升，中间几次连续下降的趋势，故可从三个函数的单调上考虑，前面两个函数没有出现两个递增区间和一个递减区间，应选f（x）=（x-1）（x-q）2+p为其成绩模拟函数．
（2）由题中条件：f（0）=4，f（2）=6，得方程组，求出p，q即可，从而得到f（x）的解析式
（3）利用导数即可预测该果品在哪几个月份内价格下跌．
解答：解：（1）因为f（x）=pqx，f（x）=logqx+q是单调函数，f（x）=（x-1）（x-q）2+q中，
f′（x）=3x2-（4q+2）+q2+2q，令f′（x）=0，得x=q，x=
，f（x）有两个零点，可以出现两个递增区间和一个递减区间，所以应选f（x）=（x-1）（x-q）2+p为其成绩模拟函数．
（2）（1）由f（1）=4，f（3）=6，得
得 
f（x）=x3+9x2+24x-12（1≤x≤12，且x∈Z）．
（2）由f′（x）=3x2+18x+24＜0得：5≤x≤6，
预测该果品在5、6月份内价格下跌．
点评：本小题主要考查函数模型的选择与应用，属于基础题．解决实际问题通常有四个步骤：（1）阅读理解，认真审题；（2）引进数学符号，建立数学模型；（3）利用数学的方法，得到数学结果；（4）转译成具体问题作出解答，其中关键是建立数学模型．
（2）由题中条件：f（0）=4，f（2）=6，得方程组，求出p，q即可，从而得到f（x）的解析式
（3）利用导数即可预测该果品在哪几个月份内价格下跌．
解答：解：（1）因为f（x）=pqx，f（x）=logqx+q是单调函数，f（x）=（x-1）（x-q）2+q中，
f′（x）=3x2-（4q+2）+q2+2q，令f′（x）=0，得x=q，x=
，f（x）有两个零点，可以出现两个递增区间和一个递减区间，所以应选f（x）=（x-1）（x-q）2+p为其成绩模拟函数．（2）（1）由f（1）=4，f（3）=6，得
得 
f（x）=x3+9x2+24x-12（1≤x≤12，且x∈Z）．
（2）由f′（x）=3x2+18x+24＜0得：5≤x≤6，
预测该果品在5、6月份内价格下跌．
点评：本小题主要考查函数模型的选择与应用，属于基础题．解决实际问题通常有四个步骤：（1）阅读理解，认真审题；（2）引进数学符号，建立数学模型；（3）利用数学的方法，得到数学结果；（4）转译成具体问题作出解答，其中关键是建立数学模型．
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某地区的一种特色水果上市时间仅能持续几个月，预测上市初期和后期会因供不应求使价格呈连续上涨的态势，而中期又将出现供大于求使价格连续下跌，为准确研究其价格走势，下面给出四个价格模拟函数中适合的是（其中为p、q常数，0＜q＜4，且x∈（0，5））（ ）
| A、f（x）=p•qx | B、f（x）=px2+qx+1 | C、f（x）=plnx+qx2 | D、f（x）=x（x-q）2+p |
；②
；③
．（以上三式中
均为常数，且
）
，
，求出所选函数
的解析式（注：函数的定义域是
）．其中
表示4月1日，
表示5月1日，…，依此类推；