Question

【题目】已知函数，．

（Ⅰ）讨论函数的单调性；

（Ⅱ）当时，恒成立，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）．

【解析】

（Ⅰ），对进行分类讨论分和两种情况，画出相应导函数的草图，得出结论；

（Ⅱ） 即，则，对则求导，判断单调性得出最大值点进行求解

（Ⅰ）由题可得，

当时，恒成立，所以函数在上单调递增；

当时，令得；令，得，

所以函数在上单调递减，在上单调递增．

综上，当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减，在上单调递增．

（Ⅱ）即，即，

令，则．

易得，

令，则，

所以函数在上单调递减，，

①当时，，则，所以，

所以函数在上单调递减，所以，满足；

②当时，，，，，

所以存在，使得，

所以当时，；当时，，

所以函数在上单调递增，在上单调递减，

又，所以，所以不满足．

综上可得，故的取值范围为．