Question

已知α∈（0，

π

2

），β∈（

π

2

，π）且sin（α+β）=

33

65

，cosβ=-

5

13

．求sinα．

Answer 1

分析：先求出cos（α+β）=-

56

65

，sinβ=

12

13

．利用同角三角函数关系求值时要判断角的终边所在的象限，来确定三角函数值的符号，此是正确求值的关键，由于α=α+β-β，故sinα=sin[（α+β）-β]=sin（α+β）cosβ-cos（α+β）sinβ，将各角的三角函数值代入求sinα．

解答：解：∵β∈（

π

2

，π），cosβ=-

5

13

，∴sinβ=

12

13

．
又∵0＜α＜

π

2

，

π

2

＜β＜π，
∴

π

2

＜α+β＜

3π

2

，又sin（α+β）=

33

65

，
∴

π

2

＜α+β＜π，
cos（α+β）=-

1-sin2(α+β)

=-

1-( 33 65 )2

=-

56

65

，
∴sinα=sin[（α+β）-β]
=sin（α+β）cosβ-cos（α+β）sinβ
=

33

65

•（-

5

13

）-（-

56

65

）•

12

13

=

3

5

．

点评：本题考查两角和与差的正弦公式，此类题求值时一般要先进行角的变换，把要求角用已知三角函数值的角表示出来，用公式展开求出三角函数值，求解时要用到同角三角函数的基本关系，故判断角的终边在那个象限是做对此类题的保证．