Question

已知函数．

（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）若函数的图像在点处的切线的倾斜角为，问：在什么范围取值时，对于任意的，函数在区间上总存在极值？

 

（Ⅲ）当时，设函数，若在区间上至少存在一个，

 

使得成立，试求实数的取值范围．

 

Answer 1

【答案】

解：（Ι）由知：

 

当时，函数的单调增区间是，单调减区间是；

当时，函数的单调增区间是，单调减区间是；………………4分

（Ⅱ）由,

 

∴，.             ………………………6分

 

故，

 

∴,

∵ 函数在区间上总存在极值，

∴有两个不等实根且至少有一个在区间内…………7分

又∵函数是开口向上的二次函数，且，∴ …………8分

 

由，∵在上单调递减，所以

 

；∴，由，解得；

 

综上得： 所以当在内取值时，对于任意的，函数

 

在区间上总存在极值。………………………9分

 

（Ⅲ）令，则

.

 

①  当时，由得，从而,

 

所以，在上不存在使得；…………………11分

②  当时，,，

 

 

在上恒成立，故在上单调递增。

 

故只要，解得综上所述， 的取值范围是

 

【解析】略