题目内容

已知函数f（x）=asinxcosx+4cos²x，x∈R， $数学公式$ ．
（1）求常数a的值；
（2）求函数f（x）的最小正周期和最大值．
（3）此函数如何由y=sinx变换得到？

解：（1）函数f（x）=asinxcosx+4cos²x，x∈R， $\text{[math]}$ ．
所以6=asin $\text{[math]}$ cos $\text{[math]}$ +4cos² $\text{[math]}$ ，6= $\text{[math]}$ ，
解得a=4 $\text{[math]}$ ；
（2）由（1）可知，f（x）=4 $\text{[math]}$ sinxcosx+4cos²x=2 $\text{[math]}$ sin2x+2cos2x+2=4sin（2x+ $\text{[math]}$ ）+2
所以函数的周期为：T= $\text{[math]}$ =π，
因为x∈R，所以函数的最大值为：M=6．
（3）函数y=sinx向左平移 $\text{[math]}$ ，得到函数y=sin（x+ $\text{[math]}$ ），
纵坐标不变，横坐标变为原来的 $\text{[math]}$ ，得到函数y=sin（2x+ $\text{[math]}$ ）的图象，
横坐标不变，纵坐标伸长原来的4倍，得到函数y=4sin（2x+ $\text{[math]}$ ）的图象，
然后函数的图象向上平移2单位，得到y=4sin（2x+ $\text{[math]}$ ）+2的图象．
分析：（1）直接利用 $\text{[math]}$ ，求出常数a的值；
（2）利用（1）通过二倍角与两角和的正弦函数化简函数的表达式，通过周期公式求函数f（x）的最小正周期和最大值．
（3）通过左加右减，伸缩变换，直接由y=sinx变换得到f（x）=4sin（2x+ $\text{[math]}$ ）+2的图象．
点评：本题考查三角函数的化简求值，二倍角公式与两角和的三角函数的应用，函数的图象的变换，考查计算能力．