题目内容
已知两点F1（-2，0），F2（2，0），曲线C上的动点M满足|MF1|+|MF2|=2|F1F2|，直线MF2与曲线C交于另一点P．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）设N（-4，0），若S△MNF2：S△PNF2=3：2，求直线MN的方程．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）设N（-4，0），若S△MNF2：S△PNF2=3：2，求直线MN的方程．
（Ⅰ）因为|F1F2|=4，|MF1|+|MF2|=2|F1F2|=8＞4，
所以曲线C是以F1，F2为焦点，长轴长为8的椭圆．
曲线C的方程为
+
=1．（4分）
（Ⅱ）显然直线MN不垂直于x轴，也不与x轴重合或平行．（5分）
设M（xM，yM），P（xP，yP），直线MN方程为y=k（x+4），其中k≠0．
由
得（3+4k2）y2-24ky=0．
解得y=0或y=
．
依题意yM=
，xM=
yM-4=
．（7分）
因为S△MNF2：S△PNF2=3：2，
所以
=
，则
=
．
于是
所以
（9分）
因为点P在椭圆上，所以3(
)2+4(
)2=48．
整理得48k4+8k2-21=0，
解得k2=
或k2=-
（舍去），
从而k=±
．（（11分））
所以直线MN的方程为y=±
(x+4)．（12分）
所以曲线C是以F1，F2为焦点，长轴长为8的椭圆．
曲线C的方程为
| x2 |
| 16 |
| y2 |
| 12 |
（Ⅱ）显然直线MN不垂直于x轴，也不与x轴重合或平行．（5分）
设M（xM，yM），P（xP，yP），直线MN方程为y=k（x+4），其中k≠0．
由
|
解得y=0或y=
| 24k |
| 4k2+3 |
依题意yM=
| 24k |
| 4k2+3 |
| 1 |
| k |
| -16k2+12 |
| 4k2+3 |
因为S△MNF2：S△PNF2=3：2，
所以
| |MF2| |
| |F2P| |
| 3 |
| 2 |
| MF2 |
| 3 |
| 2 |
| F2P |
于是
|
所以
|
因为点P在椭圆上，所以3(
| 24k2+2 |
| 4k2+3 |
| -16k |
| 4k2+3 |
整理得48k4+8k2-21=0，
解得k2=
| 7 |
| 12 |
| 3 |
| 4 |
从而k=±
| ||
| 6 |
所以直线MN的方程为y=±
| ||
| 6 |
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