题目内容
已知二次函数y=g（x）的导函数的图象与直线y=2x平行，且y=g（x）在x=-1处取得极小值m-1（m≠0）．设f（x）=
．若曲线y=f（x）上的点P到点Q（0，2）的距离的最小值为
，求m的值．
【答案】分析：根据函数的形式及函数的极小值，设出g（x），求出g（x）的导函数，根据导函数是函数的斜率，列出方程，求出a的值；写出函数f（x），设出点P的坐标，利用两点距离公式表示出|PQ|2，利用基本不等式求出最小值，通过对m的符号的讨论，求出m的值．
解答：解：依题可设g（x）=a（x+1）2+m-1（a≠0），
则g′（x）=2ax+2a；
又g′（x）的图象与直线y=2x平行
∴2a=2
解得a=1
∴g（x）=x2+2x+m，
∵
，
设P（x，y），则
当且仅当
时，|PQ|2取得最小值，即|PQ|取得最小值
当m＞0时，
解得
当m＜0时，
解得
点评：本题考查函数在切点处的导数值是切线的斜率；利用基本不等式求函数的最值时，一定要注意需满足的条件是：一正、二定、三相等．
解答：解：依题可设g（x）=a（x+1）2+m-1（a≠0），
则g′（x）=2ax+2a；
又g′（x）的图象与直线y=2x平行
∴2a=2
解得a=1
∴g（x）=x2+2x+m，
∵
，设P（x，y），则
当且仅当
时，|PQ|2取得最小值，即|PQ|取得最小值
当m＞0时，
解得
当m＜0时，
解得
点评：本题考查函数在切点处的导数值是切线的斜率；利用基本不等式求函数的最值时，一定要注意需满足的条件是：一正、二定、三相等．
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