Question

过原点O作圆x²+y²-2x-4y+4=0的任意割线交圆于P₁，P₂两点，求P₁P₂的中点P的轨迹．

Answer 1

分析：设割线OP₁P₂的直线方程为y=kx与圆的方程联立得（1+k²）x²-2（1+2k）x+4=0，再由韦达定理得：x1+x2=

2(1+2k)

1+k2

，因为P是P₁P₂的中点，所以x=

x1+x2

2

=

1+2k

1+k2

，再由P点在直线y=kx上，得到k=

y

x

，代入上式得x=

1+2 y x

1+( y x )2

整理即可．要注意范围．

解答：解：设割线OP₁P₂的直线方程为y=kx代入圆的方程，
得：x²+k²x²-2x-4kx+4=0
即（1+k²）x²-2（1+2k）x+4=0
设两根为x₁，x₂即直线与圆的两交点的横坐标；
由韦达定理得：
x1+x2=

2(1+2k)

1+k2

又设P点的坐标是（x，y）
P是P₁P₂的中点，所以x=

x1+x2

2

=

1+2k

1+k2

又P点在直线y=kx上，
∴k=

y

x

，代入上式得x=

1+2 y x

1+( y x )2

两端乘以1+(

y

x

)2，得x+

y2

x

=1+2

y

x

即x²+y²=x+2y
(x-

1

2

)2+(y-1)2=

5

4

这是一个一点(

1

2

，1)为中心，以

5

2

为半径的圆，
所求轨迹是这个圆在所给圆内的一段弧．

点评：本题主要考查直线与圆的位置关系，韦达定理，中点坐标公式及点的轨迹方程．