Question

（2011•上海模拟）在平面直角坐标系中，已知焦距为4的椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1  (a＞b＞0)的左、右顶点分别为A、B，椭圆C的右焦点为F，过F作一条垂直于x轴的直线与椭圆相交于R、S，若线段RS的长为

10

3

．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若椭圆C上存在两个不同的点关于直线l：y=9x+m对称，求实数m的取值范围．
（3）若P为椭圆C在第一象限的动点，过点P作圆x²+y²=5的两条切线PA、PB，切点为A、B，直线AB与x轴、y轴分别交于点M、N，求△MON（O为坐标原点）面积的最小值．

Answer 1

分析：（1）由题意得，c=2，故a²-b²=4，又椭圆过点（2，

5

3

），代入椭圆方程，列方程求解a，b即可求椭圆C的方程；
（2）设D、E是椭圆C上关于l：y=9x+m对称的点，设直线DE的方程为y=-

1

9

x+n；联立直线DE的方程与椭圆方程，根据判别式大于0求出n的范围；再结合D，E的中点在直线l上得到m和n的关系，即可求实数m的取值范围；
（3）设出P，A，B的坐标．得到直线PA与直线PB的方程，进而得到直线AB的方程，求出点M、N的坐标，表示出△MON的面积；再结合P为椭圆C在第一象限的动点即可求出面积的最小值．

解答：解：（1）依题意，椭圆过点( 2 ， 

5

3

 )，故

4 a2 + 25 9b2 =1 a2-b2=4

，解得

a2=9 b2=5

．…（3分）
椭圆C的方程为

x2

9

+

y2

5

=1．…（4分）
（2）设D、E是椭圆C上关于l：y=9x+m对称的点，设直线DE的方程为y=-

1

9

x+n．
联系方程得：

y=- 1 9 x+n x2 9 + y2 5 =1

⇒

46

405

x2-

2n

45

x+

1

5

n2-1=0，由△＞0得n2＜

46

9

又DE的中点G(

9n

46

，

45n

46

)在直线l上，代入得

45n

46

=9•

9n

46

+m⇒n=-

23

18

m，
代入△得-

6 46

23

＜m＜

6 46

23

．
（3）设P（x₀，y₀），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
则直线PA：x₁x+y₁y=5，直线PB：x₂x+y₂y=5
所以，直线AB：x₀x+y₀y=5，故M(

5

y0

，0)，N(0，

5

x0

)，所以S=

25

2x0y0

，
而1=

x 2 0

9

+

y 2 0

5

≥2•

x0y 0

3 5

⇒x0y0≤

3 5

2

，当且仅当x0=

3 2

2

，y0=

10

2

时等号成立．
此时Smin=

5 5

3

．

点评：本题综合考查椭圆的性质及其应用、直线与椭圆的位置关系及直线，解题时要认真审题，注意运用方程思想等数学思想，同时考查了学生的基本运算能力、运算技巧、逻辑推理能力，难度较大．