Question

设不等式表示的平面区域为D．区域D内的动点P到直线和直线的距离之积为2．记点P的轨迹为曲线C，过点F(2，0)的直线与曲线C交于A、B两点．若以线段AB为直径的圆与轴相切，求直线的斜率．

Answer 1

解：由题意可知，平面区域D如图阴影所示．

       设动点为P()，则，

       即=4，

       由PD知>0，<0，即<0．

       所以，

       即曲线C的方程为．

设A()，B()，则以线段AB为直径的圆的圆心为Q()．

因为以线段AB为直径的圆与y轴相切，所以半径，

即．    ①

       因为直线AB过点F(2，0)，

       当AB⊥轴时，不合题意．

       所以设直线AB的方程为．

       代入双曲线方程得，

，即．

       因为直线与双曲线交于A，B两点，所以≠±1．

       所以．

       所以

           =

           =

           =，

       化简得：，

       解得不合题意，舍去)．

       △=，

       所以

      所以．