题目内容
设函数f（x）=ax3+3x，其图象在点（1，f（1））处的切线l与直线-x+6y-3=0垂直，则直线l与坐标轴围成的三角形的面积为（ ）
| A、9 | B、6 | C、3 | D、1 |
考点：利用导数研究曲线上某点切线方程
专题：计算题,导数的概念及应用,直线与圆
分析：求出原函数的导函数，得到f′（1）=3a+3，由两直线垂直的条件可得3a+3=-6，求得a的值，代入原函数解析式，求出f（1），由直线方程的点斜式得到l的方程，求出其在两坐标轴上的截距，由三角形的面积公式得答案．
解答：
解：由f（x）=ax3+3x，得
f′（x）=3ax2+3，即有f′（1）=3a+3．
∵函数f（x）=ax3+3x在点（1，f（1））处的切线l与直线-x+6y-3=0垂直，
∴3a+3=-6，解得a=-3．
∴f（x）=-3x3+3x，
则f（1）=-3+3=0．
∴切线方程为y=-6（x-1），
即6x+y-6=0．
取x=0，得y=6，取y=0，得x=1．
∴直线l与坐标轴围成的三角形的面积为
×6×1=3．
故选：C．
f′（x）=3ax2+3，即有f′（1）=3a+3．
∵函数f（x）=ax3+3x在点（1，f（1））处的切线l与直线-x+6y-3=0垂直，
∴3a+3=-6，解得a=-3．
∴f（x）=-3x3+3x，
则f（1）=-3+3=0．
∴切线方程为y=-6（x-1），
即6x+y-6=0．
取x=0，得y=6，取y=0，得x=1．
∴直线l与坐标轴围成的三角形的面积为
| 1 |
| 2 |
故选：C．
点评：本题考查了利用导数研究函数在某点处的切线方程，在曲线上某点处的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，同时考查两直线垂直的条件，属于基础题．
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