Question

【题目】在平面直角坐标系中，椭圆： 的离心率为，点在椭圆上．

（1）求椭圆的方程；

（2）已知与为平面内的两个定点，过点的直线与椭圆交于， 两点，求四边形面积的最大值．

Answer 1

【答案】（1）（2）6

【解析】试题分析：（1）根据离心率及点在椭圆上可求出a,b，写出椭圆的方程；（2）联立直线和椭圆方程，消元得一元二次方程，求出弦长，再利用点到直线的距离求出高，即可写出面积，利用换元法，求其最大值.

试题解析：

解：（1）∵，∴，

椭圆的方程为，

将代入得，∴，

∴椭圆的方程为．

（2）设的方程为，联立

消去，得，

设点， ，

有， ，

有，

点 到直线的距离为，

点到直线的距离为，

从而四边形的面积（或）

令， ，

有 ，设函数， ，所以在上单调递增，

有，故，

所以当，即时，四边形面积的最大值为6．