Question

已知向量，向量，函数•．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期T；
（Ⅱ）若方程f（x）-t=0在上有解，求实数t的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（I）由平面向量数量积的运算公式，结合二倍角的余弦公式和辅助角公式化简得f（x）sin（2x-）+1，再结合正弦函数周期公式，即可得到f（x）的最小正周期；
（II）根据，可得2x-∈[，]．再结合正弦函数的图象与性质，可得f（x）=sin（2x-）+1的值域为[，2]．由此结合方程f（x）-t=0有上的解，即可求出实数t的取值范围．
解答：解：（I）∵，，
∴=（sinx+cosx，-），可得
•=sinx（sinx+cosx）+=sin²x+sinxcosx+
∵sin²x=（1-cos2x），sinxcosx=sin2x
∴f（x）=（1-cos2x）+sin2x+=sin（2x-）+1
因此，f（x）的最小正周期T==π；
（II）∵，可得2x-∈[，]
∴sin（2x-）∈[，1]，得f（x）=sin（2x-）+1的值域为[，2]
∵方程f（x）-t=0在上有解，
∴f（x）=t在上有解，可得实数t的取值范围为[，2]．
点评：本题给出向量含有三角函数的式的坐标形式，求函数的表达式并依此讨论方程f（x）-t=0在上有解的问题，着重考查了平面向量数量积运算公式及其运算性质、三角函数的图象与性质和三角恒等变换等知识，属于中档题．