Question

17．给出以下四个命题：
①若集合A={x，y}，B={0，x²}，A=B，则x=1，y=0；
②若函数f（x）的定义域为[0，2]，则函数f（2x）的定义域为[0，4]；
③函数f（x）=$\frac{1}{x}$的单调递减区间是（-∞，0）∪（0，+∞）；
④已知集合P={a，b}，Q={-1，0，1}，则映射f：P→Q中满足f（b）=0的映射共有3个．
其中正确的命题有①④（写出所有正确命题的序号）．

Answer 1

分析 由集合相等的概念求出x，y的值判断①；由f（x）的定义域求出f（2x）的定义域判断②；由函数单调区间的表示法判断③；求出满足条件的映射个数判断④．

解答 解：①，若集合A={x，y}，B={0，x²}，A=B，则$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{{x}^{2}=y}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x={x}^{2}}\\{y=0}\end{array}\right.$，
得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=0}\end{array}\right.$（舍）或$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=0}\end{array}\right.$，故①正确；
②，若函数f（x）的定义域为[0，2]，则由0≤2x≤2，得0≤x≤1，∴函数f（2x）的定义域为[0，1]，故②错误；
③，函数f（x）=$\frac{1}{x}$的单调递减区间是（-∞，0），（0，+∞），故③错误；
④，已知集合P={a，b}，Q={-1，0，1}，则映射f：P→Q中满足f（b）=0的映射为：
f（a）=-1，f（b）=0；f（a）=0，f（b）=0；f（a）=1，f（b）=0共有3个，故④正确．
故答案为：①④．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，考查了与抽象函数有关的函数定义域的求法，考查函数单调性的性质，考查映射的概念，是中档题．