Question

【题目】已知棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是棱B1C1 ， C1D1的中点． （Ⅰ）求AD1与EF所成角的大小；
（Ⅱ）求AF与平面BEB1所成角的余弦值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）建立如图所示的坐标系，D（0，0，0），A（1，0，0）， E（0， ，1），F（ ，1，1），D1（0，0，1），
=（﹣1，0，1）， =（ ， ，0），
设AD1与EF所成角为α，∴cosα=| |= ，
∴AD1与EF所成角的大小为60°；
（Ⅱ） =（0，0，1）， =（﹣1，﹣ ，1），
设平面BEB1的法向量为 =（x，y，z），则 ，
取 =（1，﹣2，0），
∵ =（﹣ ，1，1），
∴AF与平面BEB1所成角的正弦值为| |= ，
∴AF与平面BEB1所成角的余弦值为 ．

【解析】（Ⅰ）建立如图所示的坐标系，利用向量法求AD1与EF所成角的大小；（Ⅱ）求出平面BEB1的法向量，利用向量法求AF与平面BEB1所成角的余弦值．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用异面直线及其所成的角和空间角的异面直线所成的角的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握异面直线所成角的求法：1、平移法：在异面直线中的一条直线中选择一特殊点，作另一条的平行线；2、补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系；已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为，则．