题目内容

如图，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，∠ACB= $数学公式$ ，若AC=3（dm），BC=4（dm），AA₁=4（dm），D、E分别在棱AA₁和CC₁上，且DA₁=3（dm），EC₁=2（dm），若用此直三棱柱作为无盖盛水容器，且在D、E两处发生泄露，试问现在此容器最多能盛水多少（L）？

解：由三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，∠ACB= $\text{[math]}$
V_ABC-A1B1C1=S_△ABC•AA₁= $\text{[math]}$ •AC•BC•4=24（4分）
V_B-ADEC= $\text{[math]}$ S_△ADEC•BC= $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ （AD+CE）•AC•BC
= $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ •（1+2）•3•4=6（4分）
此容器最多能盛水V_ABC-A1B1C1-V_B-ADEC=18L．（4分）
分析：先求总体积，然后求V_B-ADEC，最后求下部的体积，即总体积减去V_B-ADEC即可．
点评：本题考查棱柱的结构特征，考查棱柱、棱锥的体积，是基础题．

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如图，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥底面ABC，AC=BC=2，AA₁=4，AB=2

，M，N分别是棱CC₁，AB中点．
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（Ⅱ）求证：CN∥平面AMB₁；
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如图，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱与底面垂直，AA₁=AB=AC=1，且AB⊥AC，M是CC₁的中点，N是BC的中点，点P在直线A₁B₁上，且满足

．
（1）证明：PN⊥AM；
（2）当λ取何值时，直线PN与平面ABC所成的角θ最大？并求该角最大值的正切值．

如图，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱与底面垂直，AA₁=AB=AC=1，AB⊥AC，M，N分别是CC₁，BC的中点，点P在直线A₁B₁上，且

；
（Ⅰ）证明：无论λ取何值，总有AM⊥PN；
（Ⅱ）当λ取何值时，直线PN与平面ABC所成的角θ最大？并求该角取最大值时的正切值；
（Ⅲ）是否存在点P，使得平面PMN与平面ABC所成的二面角为30°，若存在，试确定点P的位置，若不存在，请说明理由．

如图，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱长均为2，且A₁A⊥底面ABC，D为AB的中点，G为△ABC₁的重心，则|

|的值为（　　）

如图，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，AB=BC，∠ABC=90°，D为AC中点．
（1）求证：BD⊥AC₁；
（2）若AB=

，求AC₁与平面ABC所成的角．