题目内容
如图，设A是由n×n个实数组成的n行n列的数表，其中au（i，j=1，2，3，…，n）表示位于第i行第j列的实数，且au∈{1，-1}．记S（n，n）为所有这样的数表构成的集合．对于A∈S（n，n），记ri（A）为A的第i行各数之积，cj（A）为A的第j列各数之积．令l（A=
（A）+
（A））．（Ⅰ）请写出一个A∈s（4，4），使得l（A）=0；
（Ⅱ）是否存在A∈S（9，9），使得l（A）=0？说明理由；
（Ⅲ）给定正整数n，对于所有的A∈S（n，n），求l（A）的取值集合．
| a11 | a12 | … | a1n |
| a21 | a22 | … | a2n |
| … | … | … | … |
| an1 | an2 | … | ann |
【答案】分析：（Ⅰ）可以取第一行都为-1，其余的都取1，即满足题意；
（Ⅱ）不存在A∈S（9，9），使得l（A）=0．可用反证法证明假设存在，得出矛盾，从而证明结论；
（Ⅲ）通过分析正确得出l（A）的表达式，及从A如何得到A1，…依此类推即可得到Ak．
解答：（Ⅰ）解：答案不唯一，如图所示数表符合要求．
（Ⅱ）解：不存在A∈S（9，9），使得l（A）=0．
证明如下：
假设存在A∈S（9，9），使得l（A）=0．
因为ri（A）∈{1，-1}，cj（A）∈{1，-1}，（i，j=1，2，3，…，9），
所以r1（A），…，r9（A）；c1（A），…，c9（A），这18个数中有9个1，9个-1．
令M=r1（A）•…r9（A）c1（A）…c9（A）．
一方面，由于这18个数中有9个1，9个-1，从而M=-1． ①
另一方面，r1（A）•…r9（A）表示数表中所有元素之积（记这81个实数之积为m）；c1（A）•…c9（A）也表示m，从而M=m2=1． ②
①、②相矛盾，从而不存在A∈S（9，9），使得l（A）=0．
（Ⅲ）解：记这n2个实数之积为P．
一方面，从“行”的角度看，有P=r1（A）•r2（A）…rn（A）；
另一方面，从“列”的角度看，有P=c1（A）c2（A）…cn（A）．
从而有r1（A）•r2（A）…rn（A）=c1（A）c2（A）…cn（A）． ③
注意到ri（A）∈{1，-1}，cj（A）∈{1，-1}，（i，j=1，2，3，…，n），
下面考虑r1（A），…，rn（A）；c1（A），…，cn（A），这些数中-1的个数：
由③知，上述2n个实数中，-1的个数一定为偶数，该偶数记为2k（0≤k≤n）；则1的个数为2n-2k，
所以l（A）=（-1）×2k+1×（2n-2k）=2（n-2k）．
对数表A：aij=1，（i，j=1，2，3，…，n），显然l（A）=2n．
将数表A中的a11由1变为-1，得到数表A1，显然l（A1）=2n-4．
将数表A1中的a22由1变为-1，得到数表A2，显然l（A2）=2n-8．
依此类推，将数表Ak-1中的akk由1变为-1，得到数表Ak．
即数表Ak满足：a11=a22=…=akk=-1（1≤k≤n），其余aij=1．
所以 r1（A）=r2（A）=…=rk（A）=-1，c1（A）=c2（A）=…=ck（A）=-1．
所以l（Ak）=2[（-1）×k+（n-k）]=2n-4k．
由k的任意性知，l（A）的取值集合为{2（n-2k）|k=0，1，2，…n}．
点评：正确理解数表A的结构特点及l（A）的性质是解题的关键．注意由特殊到一般的思想方法和反证法的应用．本题需要较强的逻辑推理能力．
（Ⅱ）不存在A∈S（9，9），使得l（A）=0．可用反证法证明假设存在，得出矛盾，从而证明结论；
（Ⅲ）通过分析正确得出l（A）的表达式，及从A如何得到A1，…依此类推即可得到Ak．
解答：（Ⅰ）解：答案不唯一，如图所示数表符合要求．
| -1 | -1 | -1 | -1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
证明如下：
假设存在A∈S（9，9），使得l（A）=0．
因为ri（A）∈{1，-1}，cj（A）∈{1，-1}，（i，j=1，2，3，…，9），
所以r1（A），…，r9（A）；c1（A），…，c9（A），这18个数中有9个1，9个-1．
令M=r1（A）•…r9（A）c1（A）…c9（A）．
一方面，由于这18个数中有9个1，9个-1，从而M=-1． ①
另一方面，r1（A）•…r9（A）表示数表中所有元素之积（记这81个实数之积为m）；c1（A）•…c9（A）也表示m，从而M=m2=1． ②
①、②相矛盾，从而不存在A∈S（9，9），使得l（A）=0．
（Ⅲ）解：记这n2个实数之积为P．
一方面，从“行”的角度看，有P=r1（A）•r2（A）…rn（A）；
另一方面，从“列”的角度看，有P=c1（A）c2（A）…cn（A）．
从而有r1（A）•r2（A）…rn（A）=c1（A）c2（A）…cn（A）． ③
注意到ri（A）∈{1，-1}，cj（A）∈{1，-1}，（i，j=1，2，3，…，n），
下面考虑r1（A），…，rn（A）；c1（A），…，cn（A），这些数中-1的个数：
由③知，上述2n个实数中，-1的个数一定为偶数，该偶数记为2k（0≤k≤n）；则1的个数为2n-2k，
所以l（A）=（-1）×2k+1×（2n-2k）=2（n-2k）．
对数表A：aij=1，（i，j=1，2，3，…，n），显然l（A）=2n．
将数表A中的a11由1变为-1，得到数表A1，显然l（A1）=2n-4．
将数表A1中的a22由1变为-1，得到数表A2，显然l（A2）=2n-8．
依此类推，将数表Ak-1中的akk由1变为-1，得到数表Ak．
即数表Ak满足：a11=a22=…=akk=-1（1≤k≤n），其余aij=1．
所以 r1（A）=r2（A）=…=rk（A）=-1，c1（A）=c2（A）=…=ck（A）=-1．
所以l（Ak）=2[（-1）×k+（n-k）]=2n-4k．
由k的任意性知，l（A）的取值集合为{2（n-2k）|k=0，1，2，…n}．
点评：正确理解数表A的结构特点及l（A）的性质是解题的关键．注意由特殊到一般的思想方法和反证法的应用．本题需要较强的逻辑推理能力．
练习册系列答案
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如图，设A是由n×n个实数组成的n行n列的数表，其中aij（i，j=1，2，3…，n）表示位于第i行第j列的实数，且aij∈{1，-1}．记S（n，n）为所有这样的数表构成的集合．
对于A∈S（n，n），记ri（A）为A的第i行各数之积，Cj（A）为A的第j列各数之积．令l（A）=
ri（A）+
Cj（A）．
（Ⅰ）对如下数表A∈S（4，4），求l（A）的值；
（Ⅱ）证明：存在A∈S（n，n），使得l（A）=2n-4k，其中k=0，1，2，…，n；
（Ⅲ）给定n为奇数，对于所有的A∈S（n，n），证明：l（A）≠0．
| a11 | a12 | … | a1n |
| a21 | a22 | … | a2n |
| • • • | • • • | … | • • • |
| an1 | an2 | … | ann |
ri（A）+Cj（A）．（Ⅰ）对如下数表A∈S（4，4），求l（A）的值；
| 1 | 1 | -1 | -1 |
| 1 | -1 | 1 | 1 |
| 1 | -1 | -1 | 1 |
| -1 | -1 | 1 | 1 |
（Ⅲ）给定n为奇数，对于所有的A∈S（n，n），证明：l（A）≠0．