题目内容
已知函数f（x）=x3+3ax2+3bx在x=2处有极值，且其图象在x=1处的切线与直线6x+2y+5=0平行．
（1）求a，b的值；
（2）求函数f（x）的单调区间．
（1）求a，b的值；
（2）求函数f（x）的单调区间．
分析：（1）先对函数进行求导，根据函数f（x）在x=2取得极值，说明导函数在x=2时值为0，再根据其图象在x=1处的切线斜率为-3，列出方程组即可求出a、b的值；
（2）令f′（x）＞0，可求出函数的单调增区间，令f′（x）＜0，可求出函数的单调减区间．
（2）令f′（x）＞0，可求出函数的单调增区间，令f′（x）＜0，可求出函数的单调减区间．
解答：解：∵f′（x）=3x2+6ax+3b，函数f（x）在x=2取得极值，
∴f′（2）=3•22+6a•2+3b=0，即4a+b+4=0…①，
∵图象在x=1处的切线与直线6x+2y+5=0平行，
∴f′（1）=3•12+6a•1+3b=-3，即2a+b+2=0…②，
联解①②可得a=-1，b=0；
（2）由（1）可知f′（x）=3x2-6x=3x（x-2）
当f′（x）＞0时，解得x＜0或x＞2；当f′（x）＜0时，解得0＜x＜2，
∴函数的单调增区间是 （-∞，0）和（2，+∞）；函数的单调减区间是（0，2）．
∴f′（2）=3•22+6a•2+3b=0，即4a+b+4=0…①，
∵图象在x=1处的切线与直线6x+2y+5=0平行，
∴f′（1）=3•12+6a•1+3b=-3，即2a+b+2=0…②，
联解①②可得a=-1，b=0；
（2）由（1）可知f′（x）=3x2-6x=3x（x-2）
当f′（x）＞0时，解得x＜0或x＞2；当f′（x）＜0时，解得0＜x＜2，
∴函数的单调增区间是 （-∞，0）和（2，+∞）；函数的单调减区间是（0，2）．
点评：本题主要考查函数在某点取得极值的条件和导数的几何意义，以及利用导数研究函数的单调区间，同时考查了分析问题的能力，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜| π |
| 2 |
A、f(x)=2sin(πx+
| ||
B、f(x)=2sin(2πx+
| ||
C、f(x)=2sin(πx+
| ||
D、f(x)=2sin(2πx+
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