Question

定义在区间（-1，1）上的函数f（x）满足：
①对任意x，y∈（-1，1），都有f(x)+f(y)=f(

x+y

1+xy

)；
②当x∈（-1，0）时，f（x）＞0．求证：
（1）f（0）=0；
（2）f（x）在（-1，1）上是减函数；
（3）f(

1

5

)+f(

1

11

)+f(

1

19

)+…+f(

1

n2+3n+1

)＞f(

1

2

)．

Answer 1

分析：（1）令x=y=0，代入条件关系即可；
（2）令-1＜x₁＜x₂＜1，然后构造f（x₁）-f（x₂），进而根据函数单调性的定义，进行判断即可；
（3）令y=-x，判断函数f（x）的奇偶性，可利用f（x）为奇函数，将要证f(

1

5

)+f(

1

11

)+f(

1

19

)+…+f(

1

n2+3n+1

)＞f(

1

2

)，转化为：也就是去证明-[f(

1

5

)+f(

1

11

)+f(

1

19

)+…+f(

1

n2+3n+1

)]＜-f(

1

2

)，即证明f(-

1

5

)+f(-

1

11

)+f(-

1

19

)+…+f(-

1

n2+3n+1

)＜f(-

1

2

)；而f(-

1

n2+3n+1

)=f(

[(n+2)-(n+1)]

1+(n+2)•[-(n+1)]

)=f（n+2）-f（n+1），利用累加法，结合函数f（x）在（-1，1）上是减函数即可证明结论成立．

解答：解：（1）令x=y=0，
有2f（0）=f（0），
∴f（0）=0；
（2）令-1＜x₁＜x₂＜1，则
f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）=f(

x1-x2

1-x1•x2

)，
∵-1＜x₁＜x₂＜1，
∴x₁-x₂＜0，1-x₁•x₂＞0，
∴-1＜

x1-x2

1-x1•x2

＜0，
∴f(

x1-x2

1-x1•x2

)＞0，
即f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在（-1，1）上是减函数；
（3）令y=-x，则f（x）+f（-x）=f（0）=0，
∴f（-x）=-f（x），
∴f（x）为奇函数；
∴-f（

1

5

）=f(-

1

5

)=f(

3-2

1+3×(-2)

) =f(3)+f(-2)=f(3)-f(2)，①
-f(

1

11

)=f(-

1

11

)= =f(

4-3

1+4×(-3)

) =f(4)+f(-3)=f(4)-f(3)，②
…
-f(

1

n2+3n+1

)=f(-

(n+2)-(n-1)

1+(n+2)•[-(n+1))]

)=f(n+2)+f[-(n+1)]=f(n+2)-f(n+1)  ③
将上式①②…③n个式子累加有
-[f(

1

5

)+f(

1

11

)+f(

1

19

)+…+f(

1

n2+3n+1

)]
=f(-

1

5

)+f(-

1

11

)+f(-

1

19

)+…+f(-

1

n2+3n+1

)
=f（n+2）-f（2）=f(

n

1-2(n+2)

)，
又f（x）在（-1，1）上是减函数；
∴f(

n

1-2(n+2)

)=f(-

n

2n+3)

)＜f(-

n

2n

) =-f(

1

2

)＜f(-

n

2n

) =-f(

1

2

)，
∴f(

1

5

)+f(

1

11

)+f(

1

19

)+…+f(

1

n2+3n+1

)＞f(

1

2

)

点评：本题考查抽象函数及其应用，关键在于判断函数为奇函数后，灵活应用“对任意x，y∈（-1，1），都有f(x)+f(y)=f(

x+y

1+xy

)”判断函数的单调性．属于难题．