题目内容

已知数列{a_n}的首项 $数学公式$ ， $数学公式$ ，n=1，2，3，…．
（Ⅰ）证明：数列 $数学公式$ 是等比数列；
（Ⅱ）求数列 $数学公式$ 的前n项和S_n．

解：（Ⅰ）由已知： $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，（2分）
∴ $\text{[math]}$ ，
又 $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ，（4分）
∴数列 $\text{[math]}$ 是以 $\text{[math]}$ 为首项， $\text{[math]}$ 为公比的等比数列．（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 $\text{[math]}$ ，
即 $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ．（8分）
设 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，①
则 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，②
由①-②得： $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，（10分）
∴ $\text{[math]}$ ．又1+2+3+ $\text{[math]}$ ．（12分）
∴数列 $\text{[math]}$ 的前n项和： $\text{[math]}$ ．（14分）
分析：（1）化简 $\text{[math]}$ 构造新的数列 $\text{[math]}$ ，进而证明数列 $\text{[math]}$ 是等比数列．
（2）根据（1）求出数列 $\text{[math]}$ 的递推公式，得出a_n，进而构造数列 $\text{[math]}$ ，求出数列 $\text{[math]}$ 的通项公式，进而求出前n项和S_n．
点评：此题主要考查通过构造新数列达到求解数列的通项公式和前n项和的方法．