Question

已知函数f（x）=mlnx+（m-1）x（m∈R）．
（Ⅰ）当m=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）讨论f（x）的单调性；
（ III）若f（x）存在最大值M，且M＞0，求m的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）当m=2时，f（x）=2lnx+x．f′(x)=

2

x

+1=

x+2

x

．
所以f'（1）=3．
又f（1）=1，
所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是y-1=3（x-1），即3x-y-2=0．
（Ⅱ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′(x)=

m

x

+m-1=

(m-1)x+m

x

．
当m≤0时，由x＞0知f′(x)=

m

x

+m-1＜0恒成立，
此时f（x）在区间（0，+∞）上单调递减．
当m≥1时，由x＞0知f′(x)=

m

x

+m-1＞0恒成立，
此时f（x）在区间（0，+∞）上单调递增．
当0＜m＜1时，由f'（x）＞0，得x＜

m

1-m

，由f'（x）＜0，得x＞

m

1-m

，
此时f（x）在区间(0，

m

1-m

)内单调递增，在区间(

m

1-m

，+∞)内单调递减．
（ III）由（Ⅱ）知函数f（x）的定义域为（0，+∞），
当m≤0或m≥1时，f（x）在区间（0，+∞）上单调，此时函数f（x）无最大值．
当0＜m＜1时，f（x）在区间(0，

m

1-m

)内单调递增，在区间(

m

1-m

，+∞)内单调递减，
所以当0＜m＜1时函数f（x）有最大值，最大值M=f(

m

1-m

)=mln

m

1-m

-m．
因为M＞0，所以有mln

m

1-m

-m＞0，解之得m＞

e

1+e

．
所以m的取值范围是(

e

1+e

，1)．