Question

4．如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边做两个角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点．
（1）求$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$的坐标及$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$夹角的余弦；
（2）推导公式cos（α-β）和cos（α+β）的公式．

Answer 1

分析 （1）由题意可得，$\overrightarrow{OA}$和$\overrightarrow{OB}$的坐标，再利用两个向量的数量积公式可得cos＜$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$＞=$\frac{\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}}{|\overrightarrow{OA}|•|\overrightarrow{OB}|}$，计算求的结果．
（2）以Ox轴为始边做出角-β的终边，与单位圆相交于C，则由题意可得∠AOB=α-β+2kπ，∠AOC=α+β+2kπ，k∈Z．从而求得cos（α-β）=cos＜$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$＞=$\frac{\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}}{|\overrightarrow{OA}|•|\overrightarrow{OB}|}$，以及cos（α+β）=cos＜$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OC}$＞的结果．

解答 解：（1）由题意可得，$\overrightarrow{OA}$的坐标为（cosα，sinα），$\overrightarrow{OB}$的坐标（cosβ，sinβ）．
cos＜$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$＞=$\frac{\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}}{|\overrightarrow{OA}|•|\overrightarrow{OB}|}$=$\frac{cosαcosβ+sinαsinβ}{1×1}$=cos（α-β）．
（2）以Ox轴为始边做出角-β的终边，与单位圆相交于C，则由题意可得C（cosβ，-sinβ），∠AOB=α-β+2kπ，∠AOC=α+β+2kπ，k∈Z．
故cos（α-β）=cos∠AOB=cos＜$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$＞=$\frac{\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}}{|\overrightarrow{OA}|•|\overrightarrow{OB}|}$=$\frac{cosαcosβ+sinαsinβ}{1×1}$=cosαcosβ+sinαsinβ．
cos（α+β）=cos∠AOC=cos＜$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OC}$＞=$\frac{\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OC}}{|\overrightarrow{OA}|•|\overrightarrow{OC}|}$=$\frac{cosαcosβ-sinαsinβ}{1×1}$=cosαcosβ-sinαsinβ．

点评 本题主要考查终边相同的角，两角和差的余弦公式，两个向量的数量积公式，属于中档题．