Question

19．某楼盘开展套餐促销优惠活动，优惠方案如下：选择套餐一的客户可获得优惠2万元，选择套餐二的客户可获得优惠5万元，选择套餐三的客户可获得优惠3万元．根据以往的统计结果绘出参与活动的统计图如图所示，现将频率视为概率．
（1）求某两客户选择同一套餐的概率；
（2）若用随机变量ξ表示某两客户所获优惠金额的总和，求ξ的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （1）记“某两客户选择同一套餐”为事件A，利用相互独立事件概率乘法公式能求出某两客户选择同一套餐的概率P（A）．
（2）由题意知某两客户可获得优惠金额ξ的可能取值为4、5、6、7、8、10．分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望．

解答 （本题满分12分）
解：（1）记“某两客户选择同一套餐”为事件A，
则P（A）=$\frac{1}{8}×\frac{1}{8}+\frac{1}{2}×\frac{1}{2}+\frac{3}{8}×\frac{3}{8}$=$\frac{13}{32}$．…（3分）
（2）由题意知某两客户可获得优惠金额ξ的可能取值为4、5、6、7、8、10．…（4分）
P（ξ=4）=$\frac{1}{8}×\frac{1}{8}$=$\frac{1}{64}$，
P（ξ=5）=${C}_{2}^{1}×\frac{1}{8}×\frac{3}{8}=\frac{3}{32}$，
P（ξ=6）=$\frac{3}{8}×\frac{3}{8}$=$\frac{9}{64}$，
P（ξ=7）=${C}_{2}^{1}×\frac{1}{8}×\frac{1}{2}$=$\frac{1}{8}$，
P（ξ=8）=${C}_{2}^{1}×\frac{1}{2}×\frac{3}{8}$=$\frac{3}{8}$，
P（ξ=10）=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$=$\frac{1}{4}$．…（9分）
所以ξ的分布列为

ξ	4	5	6	7	8	10
P	$\frac{1}{64}$	$\frac{3}{32}$	$\frac{9}{64}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{3}{8}$	$\frac{1}{4}$

…（10分）
所以Eξ=$4×\frac{1}{64}+5×\frac{6}{64}+6×\frac{9}{64}+7×\frac{8}{64}+8×\frac{24}{64}$+$10×\frac{16}{64}$=$\frac{31}{4}$．…（12分）

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的合理运用．