Question

2．已知函数的定义域是x≠0的一切实数，对定义域内的任意实数x，y都有f（xy）=f（x）+f（y），且当x＞1时，f（x）＞0，f（2）=1．
（1）求f（1）、f（8）的值；
（2）求证：f（x）是偶函数；
（3）证明：f（x）在（0，+∞）上是增函数．

Answer 1

分析 （1）令x₁=x₂=1，得到f（1）=0，令x₁=x₂=2，得到f（4）=2，令x₁=4，x₂=2，得到f（8）=3，
（2）再令x₁=x₂=-1，得f（-1）=0．然后用主条件证明f（-x）=f（-1•x）=f（-1）+f（x）=f（x）得证．
（3）先任取两个变量，界定大小，再作差变形看符号

解答 解：（1）令x₁=x₂=1，得f（1）=2f（1），
∴f（1）=0．
令x₁=x₂=2，得f（4）=2f（2），
∴f（4）=2．
令x₁=4，x₂=2，得f（8）=f（4）+f（2），
∴f（8）=3．
证明：（2）令x₁=x₂=-1，得f（-1）=0．
∴f（-x）=f（-1•x）=f（-1）+f（x）=f（x）．
∴f（x）是偶函数．
（3）设x₂＞x₁＞0，则
f（x₂）-f（x₁）=f（x₁•$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$）-f（x₁）
=f（x₁）+f（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$）-f（x₁）=f（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$）．
∵x₂＞x₁＞0，
∴$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$＞1．
∴f（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$）＞0，即f（x₂）-f（x₁）＞0．
∴f（x₂）＞f（x₁）．
∴f（x）在（0，+∞）上是增函数

点评 本题主要考查单调性和奇偶性的判断与证明．严格落实定义是解答的关键．