Question

已知函数f(x)=2x+

2

x

+alnx，a∈R．
（1）若a=-4，求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）在[1，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；
（3）记函数g（x）=x²[f′（x）+2x-2]，若g（x）的最小值是-6，求函数f（x）的解析式．

Answer 1

分析：（1）对函数f(x)=2x+

2

x

-4lnx进行求导，然后令导函数大于0求出x的范围，令导函数小于0求出x的范围，即可得到答案；
（2）要使函数f（x）在区间[1，+∞）上单调递增，则函数的导函数f′(x)=2-

2

x2

+

a

x

≥0，x＞0，列出不等式a≥

2

x

-2x在[1，+∞）上恒成立，利用y=

2

x

-2x在[1，+∞）上单调递减，最大值是0，求出a的取值范围a≥0；
（3）由于函数g（x）=x²[f′（x）+2x-2]=2x³+ax-2（x＞0），则要利用导数求函数g（x）=2x³+ax-2在（0，+∞）上的最小值，让最小值为-6，得到a的值，即可得f（x）的解析式．

解答：解：由函数f(x)=2x+

2

x

+alnx知，f′(x)=2-

2

x2

+

a

x

≥0，x＞0
（1）当a=-4时，f′(x)=2-

2

x2

-

4

x

，x＞0，
令f′（x）＞0，则2-

2

x2

-

4

x

＞0，由于x＞0，即得2x²-4x-2＞0，即x²-2x-1＞0，解得：x＞1+

2

；
令f′（x）＜0，则2-

2

x2

-

4

x

＜0，由于x＞0，即得2x²-4x-2＜0，即x²-2x-1＜0，解得：0＜x＜1+

2

．
因此，函数f(x)=2x+

2

x

-4lnx的单调增区间是(1+

2

，+∞)，单调减区间是(0，1+

2

)．
（2）由于函数f（x）在[1，+∞）上单调递增，则f′(x)=2-

2

x2

+

a

x

≥0在[1，+∞）上恒成立．
由于x≥1，得到2x-

2

x

+a≥0即a≥

2

x

-2x在[1，+∞）上恒成立．
而函数y=

2

x

-2x在[1，+∞）上是减函数，且ymax=

2

1

-2=0，
因此，实数a的取值范围是a≥0．
（3）由题意知，函数g（x）=x²[f′（x）+2x-2]=x2(2-

2

x2

+

a

x

+2x-2)=2x³+ax-2（x＞0），
则g′（x）=6x²+a，令g′（x）=0得到x=

- a 6

或x=-

- a 6

（舍），
且当0＜x＜

- a 6

时，g′（x）＜0；当x＞

- a 6

时，g′（x）＞0，
则函数g（x）=2x³+ax-2（x＞0）在x=

- a 6

时取得极小值g（

- a 6

）=2(

- a 6

)3+a

- a 6

-2，也是定义域上的最小值．
又g（x）的最小值是-6，则2(

- a 6

) 3+a

- a 6

-2=-6，解得a=-6．
因此，函数f（x）的解析式为f(x)=2x+

2

x

-6lnx．

点评：本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．会利用导数研究函数的单调区间以及根据函数的增减性得到函数的最值．掌握不等式恒成立时所取的条件．