Question

已知数列{a_n}的首项a1=

2

3

，an=

2an-1

an-1+1

(n≥2，n∈N*)
（1）证明：数列{

1

an

-1}是等比数列，并求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）证明：

n

i=1

ai(1-ai+1)＜

1

3

．

Answer 1

分析：（1）利用数列递推式，化简可得

1 an -1

1 an-1 -1

=

1

2

，从而可得数列{

1

an

-1}是等比数列，即可求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）通项代入，利用叠加法，即可证明结论．

解答：证明：（1）∵an=

2an-1

an-1+1

(n≥2，n∈N*)
∴

1 an -1

1 an-1 -1

=

1

2

∵a1=

2

3

∴

1

a1

-1=

1

2

∴数列{

1

an

-1}是首项、公比均为

1

2

的等比数列，
∴

1

an

-1=

1

2n

∴an=

2n

2n+1

；
（2）

n

i=1

ai(1-ai+1)=

n

i=1

2i

2i+1

(1-

2i+1

2i+1+1

)=

n

i=1

(

1

2i+1

-

1

2i+1+1

)=

1

3

-

1

2n+1+1

＜

1

3

∴

n

i=1

ai(1-ai+1)＜

1

3

．

点评：本题考查等比数列的证明，考查数列的通项与求和，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．