题目内容

已知函数 $数学公式$ ，判断下列三个命题的真假：
①f（x）＜1；
②x=0为f（x）的一个极大值点；
③当x∈（0，2π）时，f（x）没有极值点．其中真命题的个数是

A.
0个
B.
1个
C.
2个
D.
3个

B
分析：对于①针对函数 $\text{[math]}$ 的性质，只须考虑当0＜x＜ $\text{[math]}$ 时的函数值即可，再利用单位圆中的三角函数线，通过面积关系证明sinx＜x；
对于②③，利用商的导数运算法则及基本初等函数的导数公式，求出函数的导数 $\text{[math]}$ ，然后根据导函数的符号确定函数的单调性即可得到结论．
解答：①针对函数 $\text{[math]}$ 的性质，只须考虑当0＜x＜ $\text{[math]}$ 时的函数值即可，
如图，在单位圆中，有sinx=MA，

连接AN，则S_△OAN＜S_扇形OAN，
设 $\text{[math]}$ 的长为l，则x= $\text{[math]}$ =1，
∴ $\text{[math]}$ ON•MA＜ $\text{[math]}$ ON•x，即MA＜x，
又sinx=MA，
∴sinx＜x，∴ $\text{[math]}$ ，故①正确；
②因为x为0时分母无意义，所以x=0不能为f（x）的一个极大值点，故②错误；
③由于函数的导数 $\text{[math]}$ ，
当x $\text{[math]}$ 时，xcosx-sinx＜0，即f'（x）＜0，
当 $\text{[math]}$ 时，xcosx-sinx＞0，即f'（x）＞0，则函数在 $\text{[math]}$ 时取得极值，故③错误．
故答案选 B．
点评：本题考查的知识点是，判断命题真假，比较综合的考查了三角函数、导数的一些性质，我们可以根据三角函数和导数的常用结论对三个结论逐一进行判断，可以得到正确的结论．