题目内容
如图，设斜率为| 4 |
| 5 |
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| 5 |
| 2 |
（1）求椭圆的离心率；
（2）若F点到直线l的距离为
| 32 |
| 41 |
| 41 |
分析：（1）设出A，B的坐标，利用点差法，可求得
=
，从而可求椭圆的离心率；
（2）利用F点到直线l的距离为
，确定椭圆的方程，从而可求△FAB的面积．
| b2 |
| a2 |
| 16 |
| 25 |
（2）利用F点到直线l的距离为
| 32 |
| 41 |
| 41 |
解答：解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），弦AB中点P的坐标为（-
，2）
∴x1+x2=-5，y1+y2=4
∵直线l的斜率为
，∴
=
∵A，B在椭圆上，
∴
+
=1，
+
=1
两式相减可得：
+
=0
∴
+
=0
∴
=
，∴
=
∴e=
=
=
；
（2）由（1）设a=5k，b=4k，则c=3k（k＞0），∴F（3k，0）
直线l的方程为y-2=
（x+
），即4x-5y+20=0
∵F点到直线l的距离为
，∴
=
，∴k=1
∴椭圆方程为
+
=1
∵直线l过椭圆上顶点（0，4）与左顶点（-5，0）
∴|AB|=
∴S△FAB=
×
×
=16．
| 5 |
| 2 |
∴x1+x2=-5，y1+y2=4
∵直线l的斜率为
| 4 |
| 5 |
| y2-y1 |
| x2-x1 |
| 4 |
| 5 |
∵A，B在椭圆上，
∴
| x12 |
| a2 |
| y12 |
| b2 |
| x22 |
| a2 |
| y22 |
| b2 |
两式相减可得：
| (x2+x1)(x2-x1) |
| a2 |
| (y2+y1)(y2-y1) |
| b2 |
∴
| -5(x2-x1) |
| a2 |
| 4(y2-y1) |
| b2 |
∴
| b2 |
| a2 |
| 16 |
| 25 |
| b |
| a |
| 4 |
| 5 |
∴e=
| c |
| a |
|
| 3 |
| 5 |
（2）由（1）设a=5k，b=4k，则c=3k（k＞0），∴F（3k，0）
直线l的方程为y-2=
| 4 |
| 5 |
| 5 |
| 2 |
∵F点到直线l的距离为
| 32 |
| 41 |
| 41 |
| |12k+20| | ||
|
| 32 |
| 41 |
| 41 |
∴椭圆方程为
| x2 |
| 25 |
| y2 |
| 16 |
∵直线l过椭圆上顶点（0，4）与左顶点（-5，0）
∴|AB|=
| 41 |
∴S△FAB=
| 1 |
| 2 |
| 41 |
| 32 |
| 41 |
| 41 |
点评：本题考查直线与椭圆的位置关系，考查点差法的运用，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
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