题目内容
【题目】已知函数
（I）若函数
的图象在
处的切线斜率为1，求实数
的值；
（Ⅱ）求函数的单调区间；
（Ⅲ）若函数
在[1,2]上是减函数，求实数的取值范围．
【答案】（1）
；
（2）
的单调递减区间是
；单调递增区间是
；
（3）
【解析】
第一问中
， 由已知
，解得
第二问中，因为函数的定义域为
.
可知函数的单调递减区间是；单调递增区间是
第三问由
得
由已知函数
为
上的单调减函数，
则
在上恒成立，即
在上恒成立.
即
在上恒成立.分离参数法得到。
解：（1）……………………………………………1分
由已知，解得. …………………………………………………3分
（2）函数的定义域为..
当
变化时，
的变化情况如下：
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|
|
|
| - |
| + |
|
| 极小值 |
|
由上表可知，函数的单调递减区间是；单调递增区间是. ……6分
（3）由得， ………………………………8分
由已知函数为上的单调减函数，
则在上恒成立，即在上恒成立.
即在上恒成立. ………………………………………………………10分
令
，在上
，
所以
在为减函数.
,所以
. ……………………12分
【题目】为了研究学生的数学核心素养与抽象能力(指标
)、推理能力(指标
)、建模能力(指标
)的相关性，将它们各自量化为1、2、3三个等级，再用综合指标
的值评定学生的数学核心素养，若
，则数学核心素养为一级；若
，则数学核心素养为二级；若
，则数学核心素养为三级，为了了解某校学生的数学核心素养，调查人员随机访问了某校10名学生，得到如下数据：
学生编号 |
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(1)在这10名学生中任取两人，求这两人的建模能力指标相同条件下综合指标值也相同的概率；
(2)在这10名学生中任取三人，其中数学核心素养等级是一级的学生人数记为
，求随机变量的分布列及其数学期望.
【题目】某校高一年级共有
名学生，其中男生
名，女生
名，该校组织了一次口语模拟考试（满分为
分）.为研究这次口语考试成绩为高分是否与性别有关，现按性别采用分层抽样抽取名学生的成绩，按从低到高分成
，
，
，
，
，
，
七组，并绘制成如图所示的频率分布直方图.已知的频率等于的频率，的频率与的频率之比为
，成绩高于
分的为“高分”.
（1）估计该校高一年级学生在口语考试中，成绩为“高分”的人数；
（2）请你根据已知条件将下列
列联表补充完整，并判断是否有
的把握认为“该校高一年级学生在本次口语考试中成绩及格（
分以上（含分）为及格）与性别有关”？
口语成绩及格 | 口语成绩不及格 | 合计 | |
男生 |
|
| |
女生 |
|
| |
合计 |
|
附临界值表：
| 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.001 |
| 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 10.828 |
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