题目内容

14、对于给定的函数f（x）=2x-2-x，有下列4个结论，其中正确结论的序号是
（1）（3）（4）
；
（1）f（x）的图象关于原点对称； （2）f（log23）=2；（3）f（x）在R上是增函数；    （4）f（|x|）有最小值0．
分析：根据单调性的判断方法，（1）是考查函数的奇偶性的，要判断是否关于原点对称，须看是否为奇函数，须用定义，（2）考查对数函数与指数函数的计算公式，（3）须紧扣定义进行，（4）要借助于单调性和奇偶性来判断．
解答：解：因为f（x）=2x-2-x，故f（-x）=2-x-2x=-f（x），所以（1）对，
由对数计算公式可知（2）不对；
又因为y=2x在R上是增函数，且y=2-x在R上是减函数，所以f（x）=2x-2-x在R上是增函数，所以（3）对，
因为f（|x|）是偶函数且在上是增函数，所以最小值为f（0）=0，所以（4）对，
故答案为：（1）（3）（4）．
点评：判断复杂函数的单调性与最值可借助于奇偶性及图象，是一道综合题，属于中档题．
练习册系列答案
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定义在实数集R上的函数f（x），如果存在函数g（x）=Ax+B（A、B为常数），使得f（x）≥g（x）对一切实数x都成立，那么称g（x）为函数f（x）的一个承托函数．给出如下四个命题：
①对于给定的函数f（x），其承托函数可能不存在，也可能有无数个；
②定义域和值域都是R的函数f（x）不存在承托函数；
③g（x）=2x为函数f（x）=|3x|的一个承托函数；
④g(x)=
12
x为函数f（x）=x2的一个承托函数．
其中正确的命题有
 
．
定义在R上的函数f（x），如果存在函数g（x）=kx+b（k，b为常数），使得f（x）≥g（x）对一切实数x都成立，则称g（x）是函数f（x）的一个“亲密函数”，现有如下的命题：
（1）对于给定的函数f（x），其“亲密函数”有可能不存在，也可能有无数个；
（2）g（x）=2x是f（x）=2x，的一个“亲密函数”；
（3）定义域与值域都是R的函数f（x），不存在“亲密函数”．
其中正确的命题是（　　）
已知定义在R上的二次函数R（x）=ax2+bx+c满足2R（-x）-2R（x）=0，且R（x）的最小值为0，函数h（x）=lnx，又函数f（x）=h（x）-R（x）．
（I）求f（x）的单调区间；  
（II）当a≤
1
2
时，若x0∈[1，3]，求f（x0）的最小值；
（III）若二次函数R（x）图象过（4，2）点，对于给定的函数f（x）图象上的点A（x1，y1），当x1=
3
2
时，探求函数f（x）图象上是否存在点B（x2，y2）（x2＞2），使A、B连线平行于x轴，并说明理由．（参考数据：e=2.71828…）
对于给定的函数f（x）=2x-2-x，有下列四个结论：
①f（x）的图象关于原点对称；           ②f（x）在R上不是增函数；
③f（|x|）的图象关于y轴对称；          ④f（|x|）的最小值为0．
其中正确的结论是
①③④
①③④
（填写正确结论的序号）
已知定义在R上的二次函数R（x）=ax2+bx（a＞0）是偶函数，函数f（x）=2lnx-R（x）．
（I）求f（x）的单调区间；  
（II）当a≤1时，若x0∈[1，2]，求f（x0）的最大值；
（III）若二次函数R（x）图象过（1，1）点，对于给定的函数f（x）图象上的点A（x1，y1），当x1=
1e
时，探求函数f（x）图象上是否存在点B（x2，y2）（x2＞1），使A、B连线平行于x轴，并说明理由．（参考数据：e=2.71828…）

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