题目内容

对于给定的函数f（x）=2x-2-x，有下列四个结论：
①f（x）的图象关于原点对称；           ②f（x）在R上不是增函数；
③f（|x|）的图象关于y轴对称；          ④f（|x|）的最小值为0．
其中正确的结论是
①③④
①③④
（填写正确结论的序号）
分析：根据单调性的判断方法，①是考查函数的奇偶性的，要判断是否关于原点对称，须看是否为奇函数，利用定义，②要借助于单调性和奇偶性来判断，③、④须紧扣函数f（|x|）的性质进行判断．
解答：解：因为f（x）=2x-2-x，故f（-x）=2-x-2x=-f（x），f（x）是奇函数，它的图象关于原点对称．所以①对；
又因为y=2x在R上是增函数，且y=2-x在R上是减函数，所以f（x）=2x-2-x在R上是增函数，所以②不对，
因为f（|x|）是偶函数且在上是增函数，所以最小值为f（0）=0，所以③④对，
故答案为：①③④．
点评：本题主要借助于函数f（x）=2x-2-x，考查了命题的真假判断与应用判断复杂函数的单调性与最值可借助于奇偶性及图象．
练习册系列答案
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定义在实数集R上的函数f（x），如果存在函数g（x）=Ax+B（A、B为常数），使得f（x）≥g（x）对一切实数x都成立，那么称g（x）为函数f（x）的一个承托函数．给出如下四个命题：
①对于给定的函数f（x），其承托函数可能不存在，也可能有无数个；
②定义域和值域都是R的函数f（x）不存在承托函数；
③g（x）=2x为函数f（x）=|3x|的一个承托函数；
④g(x)=
12
x为函数f（x）=x2的一个承托函数．
其中正确的命题有
 
．
定义在R上的函数f（x），如果存在函数g（x）=kx+b（k，b为常数），使得f（x）≥g（x）对一切实数x都成立，则称g（x）是函数f（x）的一个“亲密函数”，现有如下的命题：
（1）对于给定的函数f（x），其“亲密函数”有可能不存在，也可能有无数个；
（2）g（x）=2x是f（x）=2x，的一个“亲密函数”；
（3）定义域与值域都是R的函数f（x），不存在“亲密函数”．
其中正确的命题是（　　）
已知定义在R上的二次函数R（x）=ax2+bx+c满足2R（-x）-2R（x）=0，且R（x）的最小值为0，函数h（x）=lnx，又函数f（x）=h（x）-R（x）．
（I）求f（x）的单调区间；  
（II）当a≤
1
2
时，若x0∈[1，3]，求f（x0）的最小值；
（III）若二次函数R（x）图象过（4，2）点，对于给定的函数f（x）图象上的点A（x1，y1），当x1=
3
2
时，探求函数f（x）图象上是否存在点B（x2，y2）（x2＞2），使A、B连线平行于x轴，并说明理由．（参考数据：e=2.71828…）
已知定义在R上的二次函数R（x）=ax2+bx（a＞0）是偶函数，函数f（x）=2lnx-R（x）．
（I）求f（x）的单调区间；  
（II）当a≤1时，若x0∈[1，2]，求f（x0）的最大值；
（III）若二次函数R（x）图象过（1，1）点，对于给定的函数f（x）图象上的点A（x1，y1），当x1=
1e
时，探求函数f（x）图象上是否存在点B（x2，y2）（x2＞1），使A、B连线平行于x轴，并说明理由．（参考数据：e=2.71828…）

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