Question

点P是椭圆

x2

25

+

y2

16

=1上的动点，F₁为椭圆的左焦点，定点M（6，4），则PM+PF₁的最大值为

 

．

Answer 1

分析：如图所示，由椭圆

x2

25

+

y2

16

=1可得：a²=25，b²=16，c=

a2-b2

．由|PM|+|PF₁|=2a+|PM|-|PF₂|≤2a+|MF₂|，当且仅当三点M、F₂、P共线时取等号．

解答：解：如图所示，
由椭圆

x2

25

+

y2

16

=1可得：a²=25，b²=16．
∴a=5，b=4，c=

a2-b2

=3．
∴F₂（3，0），|MF2|=

(6-3)2+42

=5．
∴|PM|+|PF₁|=2a+|PM|-|PF₂|≤2×5+|MF₂|=15，
当且仅当三点M、F₂、P共线时取等号．
故答案为：15．

点评：本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、最大值问题的转化为三角形的三边关系，属于难题．