Question

已知函数f(x)=lnx+

2a

x

，a∈R．
（1）若x=2是函数f（x）的极值点，求实数a的值．
（2）若函数f（x）在[2，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围；
（3）若函数f（x）在[1，e]上的最小值为3，求实数a的值．

Answer 1

分析：（1）求出函数的导函数，由导函数等于0得到导函数的零点，由导函数的零点把定义域分段，判断出各区间段内的导函数的符号，由导函数的符号得到原函数的单调性，从而判断出极值点，由x=2是函数f（x）的极值点求实数a的值；
（2）求出原函数的导函数，由导函数在[2，+∞）大于等于0恒成立得到x-2a≥0在[2，+∞）恒成立，分离变量a后即可得到a的取值范围；
（3）由原函数的导函数等于0求出导函数的零点，由零点对定义域分段，然后根据原函数的极值点与给出的区间端点值得大小关系分析原函数在区间[1，e]上的单调性，由单调性求得原函数在[1，e]上的最小值，由最小值等于3解得a的值．

解答：解：（1）由f(x)=lnx+

2a

x

，a∈R，所以f′(x)=

1

x

-

2a

x2

=

x-2a

x2

．
定义域为（0，+∞），
由f^′（x）=0，得x-2a=0，即x=2a．
所以，当x∈（0，2a）时，f^′（x）＜0，f（x）为减函数；
当x∈（2a，+∞）时，f^′（x）＞0，f（x）为增函数，
所以在（0，+∞）上f（x）有极小值点x=2a，由已知x=2是函数f（x）的极值点，
所以2a=2，则a=1；
（2）由f(x)=lnx+

2a

x

，a∈R，所以f′(x)=

1

x

-

2a

x2

=

x-2a

x2

．
若函数f（x）在[2，+∞）上是增函数，则f′(x)=

x-2a

x2

≥0在[2，+∞）恒成立，
即x-2a≥0在[2，+∞）恒成立，也就是a≤

x

2

在[2，+∞）恒成立，
所以a≤1．
所以使函数f（x）在[2，+∞）上是增函数的实数a的取值范围是（-∞，1]；
（3）由（2）知，以f′(x)=

1

x

-

2a

x2

=

x-2a

x2

，
若a≤0，则f^′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上为增函数，
f（x）在[1，e]上的最小值为f（1）=2a=3，a=

3

2

，不合题意；
若a＞0，由f^′（x）=0，得x=2a．
当x∈（0，2a）时，f^′（x）＜0，f（x）为减函数，
当x∈（2a，+∞）时，f^′（x）＞0，f（x）为增函数，
所以当2a≤1，即a≤

1

2

时，f（x）在[1，e]上为增函数，
最小值为f（1）=2a=3，a=

3

2

，不合题意；
当2a≥e，即a≥

e

2

时，f（x）在[1，e]上为减函数，
最小值为f（e）=1+

2a

e

=3，a=e，符合题意；
当1＜2a＜e，即

1

2

＜a＜

e

2

时，f（x）在[1，e]上的最小值为f（2a）=ln2a+1=3，a=

e2

2

不合题意．
综上，使函数f（x）在[1，e]上的最小值为3的实数a的值为e．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数求函数在闭区间上的最值，考查了分类讨论的数学思想方法，训练了利用分离变量法求参数的范围，解答的关键是会求基本初等函数的导函数和对变量的正确分类，是难题．