Question

【题目】已知函数f（x）=sinωx+λcosωx，其图象的一个对称中心到最近的一条对称轴的距离为 ，且在x= 处取得最大值．
（1）求λ的值．
（2）设 在区间 上是增函数，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）=sinωx+λcosωx= sin（ωx+φ），其中tanφ=λ；

由题可得 = ，

∴T=π，

∴ω= =2，

∵x= 处取得最大值，

∴ +φ= ，

∴φ= ，

∴λ=tan =

（2）解：由（1）可得f（x）=2sin（2x+ ），

∴ =2asin（2x+ ）+cos（4x﹣ ）

=2asin（2x+ ）+2cos2（2x﹣ ）﹣1

=2asin（2x+ ）+2sin2（2x+ ）﹣1；

设t=sin（2x+ ），其中x∈（ ， ），

∴2x+ ∈（ ，π），

0＜sin（2x+ ）＜ ，

函数t=sin（2x+ ）是单调减函数，且0＜t＜ ；

∴函数g（t）=2t2+2at﹣1，在对称轴t=﹣ 的左侧单调递减，

令﹣ ≥ ，解得a≤﹣1，

∴a的取值范围是a≤﹣1

【解析】（1）化简f（x）为正弦型函数，利用函数的周期和最值求出ω、λ的值；（2）由f（x）写出g（x）的解析式，利用换元法和复合函数的单调性，即可求出a的取值范围．
【考点精析】关于本题考查的两角和与差的正弦公式，需要了解两角和与差的正弦公式：才能得出正确答案．