题目内容

如图，已知四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=2，点M、N分别在侧棱PD、PC上，且PM=MD．
（1）求证：AM⊥平面PCD；
（2）若 $数学公式$ ，求平面AMN与平面PAB的所成锐二面角的余弦值．

证明：（Ⅰ）因为四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，
则CD⊥侧面PAD
∴CD⊥AM，又PA=AD=2，∴AM⊥PD．
又PD∩CD=D，∴AM⊥平面PCD．（5分）

（Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz又PA=AD=2，
则有P（0，0，2），D（0，2，0）
M（0，1，1），C（2，2，0）
∴ $\text{[math]}$ =（2，2，-2）．
设N（x，y，z），∵ $\text{[math]}$ ，则有
x-0= $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ．
同理可得y= $\text{[math]}$ ．
即得 $\text{[math]}$ ．
由 $\text{[math]}$ =0，∴PC⊥AN
∴平面AMN的法向量为 $\text{[math]}$ =（2，2，-2），
而平面PAB的法向量可为 $\text{[math]}$ =（0，2，0），
∴cos＜ $\text{[math]}$
故所求平面AMN与PAB所成锐二面角的余弦值为 $\text{[math]}$ （13分）
分析：（Ⅰ）欲证AM⊥平面PCD，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证AM与平面PCD内两相交直线垂直，根据线面垂直的性质可知CD⊥AM，根据等腰三角形可知AM⊥PD，又PD∩CD=D，满足定理所需条件；
（Ⅱ）以点A为坐标原点，以AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系A-xyz，根据 $\text{[math]}$ =0可知PC⊥AN，从而平面AMN的法向量为 $\text{[math]}$ ，而平面PAB的法向量可为 $\text{[math]}$ ，求出两平面的法相交的夹角即可求出平面AMN与PAB所成锐二面角的余弦值．
点评：本小题主要考查直线与平面的位置关系、二面角及其平面角等有关知识，考查空间想象能力和思维能力，应用向量知识解决立体几何问题的能力．