Question

设函数f(x)表示实数，x在与x的给定区间内整数之差绝对值的最小值.

（1）当x∈［-,］时，求出f(x)的解析式，当x∈［k-,k+］(k∈Z）时，写出用绝对值符号表示的f(x)的解析式，并说明理由；

（2）用偶函数定义证明函数f（x）是偶函数（x∈R）.

Answer 1

解析：当x∈［-,］时，由定义知：x与0距离最近，故当x∈［k-,k+］(k∈Z）时，由定义知：k为与x最近的一个整数，可以得到第一问的解答；利用偶函数的定义证明第二问，需要注意使用第一问的结论，可以简化证明过程.

答案：（1）当x∈［-,］时，由定义知：x与0距离最近，f(x) =|x|，x∈［-,］，

当x∈［k-,k+］(k∈Z)时，由定义知：k为与x最近的一个整数，故

f(x)=|x-k|，x∈［k-,k+］(k∈Z).

（2）对任何x∈R，函数f(x)都存在，且存在k∈Z，满足k-≤x≤k+，f(x)=|x-k|.由k-≤x≤k+可以得出-k-≤-x≤-k+(k∈Z),

即-x∈［-k-,-k+］(-k∈Z）.

由（1）的结论，f(-x)=|1-x-(-k)|=|k-x|=|x-k|=f(x),

即f(x)是偶函数.