Question

已知角α、β满足：5

3

sinα+5cosα=8，

2

sinβ+

6

cosβ=2且α∈（0，

π

3

），β∈（

π

6

，

π

2

），求cos（α+β）的值．

Answer 1

分析：把已知的式子分别提取10和2

2

，利用两角和的正弦函数公式及特殊角的三角函数值把已知的两个式子化为一个角的正弦函数，并求出sin（α+

π

6

）和sin（β+

π

3

），分别根据角的范围，利用同角三角函数间的基本关系分别求出cos（α+

π

6

）和cos（β+

π

3

），然后利用诱导公式把所求的式子化简，并利用两角和的正弦函数公式化简后，将求出的各项分别代入即可求出值．

解答：解：∵5

3

sinα+5cosα=8，∴sin（α+

π

6

）=

4

5

，
∵α∈（0，

π

3

），∴α+

π

6

∈（

π

6

，

π

2

），∴cos（α+

π

6

）=

3

5

．
又∵

2

sinβ+

6

cosβ=2，∴sin（β+

π

3

）=

2

2

，
∵β∈（

π

6

，

π

2

），∴β+

π

3

∈（

π

2

，

5π

6

），∴cos（β+

π

3

）=-

2

2

，
∴cos（α+β）=sin[

π

2

+（α+β）]=sin[（α+

π

6

）+（β+

π

3

）]=sin（α+

π

6

）cos（β+

π

3

）+cos（α+

π

6

）sin（β+

π

3

）=-

2

10

，

点评：此题考查学生灵活运用两角和的正弦函数公式、诱导公式及特殊角的三角函数值化简求值，是一道综合题．学生做题时应注意角的范围及角的变换．