Question

已知奇函数f(x)=loga

bx+1

x-1

，（a＞0，且a≠1）
（Ⅰ）求b的值；
（Ⅱ）对于x∈[2，4]f(x)＞loga

m

(x-1)2(7-x)

恒成立，求m的取值范围；
（Ⅲ）当n≥4，且n∈N^*时，试比较a^{f（2）+f（3）+…+f（n）}与2ⁿ-2的大小．

Answer 1

分析：（I）根据奇函数的定义g（x）=-g（-x）列出关于b的等式，由函数的奇偶性定义求出b的值；
（II）分当a＞1和当0＜a＜1两种情况讨论，利用分离参数法，结合导数在最大值、最小值问题中的应用来解m的取值范围．
（Ⅲ）先得出：af(2)+f(3)++f(n)=

n(n+1)

2

，再分情况讨论：当n=2时，

n(n+1)

2

=3，2ⁿ-2=2，∴a^{f（2）+f（3）++f（n）}＞2ⁿ-2；当n=3时，

n(n+1)

2

=6，2ⁿ-2=6，∴a^{f（2）+f（3）++f（n）}=2ⁿ-2；当n≥4时，af(2)+f(3)++f(n)=

n(n+1)

2

＜2ⁿ-2进行证明即可．

解答：解：（Ⅰ）由f(x)=loga

bx+1

x-1

，f(-x)=loga

-bx+1

-x-1

=loga

bx-1

x+1

f(x)+f(-x)=loga

bx+1

x-1

+loga

bx-1

x+1

=loga

b2x2-1

x2-1

=0
∴

b2x2-1

x2-1

=1恒成立，b²=1，b=±1经检验b=1
（Ⅱ）由x∈[2，4]时，f(x)=loga

x+1

x-1

＞loga

m

(x-1)2(7-x)

恒成立，
①当a＞1时
∴

x+1

x-1

＞

m

(x-1)2(7-x)

＞0对x∈[2，4]恒成立
∴0＜m＜（x+1）（x-1）（7-x）在x∈[2，4]恒成立
设g（x）=（x+1）（x-1）（7-x），x∈[2，4]
则g（x）=-x³+7x²+x-7g′(x)=-3x2+14x+1=-3(x-

7

3

)2+

52

3

∴当x∈[2，4]时，g'（x）＞0
∴y=g（x）在区间[2，4]上是增函数，g（x）_min=g（2）=15
∴0＜m＜15
②当0＜a＜1时
由x∈[2，4]时，f(x)=loga

x+1

x-1

＞loga

m

(x-1)2(7-x)

恒成立，
∴

x+1

x-1

＜

m

(x-1)2(7-x)

对x∈[2，4]恒成立
∴m＞（x+1）（x-1）（7-x）在x∈[2，4]恒成立
设g（x）=（x+1）（x-1）（7-x），x∈[2，4]
由①可知y=g（x）在区间[2，4]上是增函数，g（x）_max=g（4）=45
∴m＞45
综上，当a＞1时，0＜m＜15；
当0＜a＜1时，m＞45
（Ⅲ）∵f(2)+f(3)++f(n)=loga3+loga

4

2

+loga

5

3

++loga

n

n-2

+loga

n+1

n-1

=loga(3×

4

2

×

5

3

××

n

n-2

×

n+1

n-1

)=loga

n(n+1)

2

∴af(2)+f(3)++f(n)=

n(n+1)

2

当n=2时，

n(n+1)

2

=3，2ⁿ-2=2，∴a^{f（2）+f（3）++f（n）}＞2ⁿ-2
当n=3时，

n(n+1)

2

=6，2ⁿ-2=6，∴a^{f（2）+f（3）++f（n）}=2ⁿ-2
当n≥4时，af(2)+f(3)++f(n)=

n(n+1)

2

＜2ⁿ-2
下面证明：当n≥4时，af(2)+f(3)++f(n)=

n(n+1)

2

＜2ⁿ-2
当n≥4时，2ⁿ-2=C_n⁰+C_n¹+C_n²++C_n^n-1+C_nⁿ-2=C_n¹+C_n²++C_n^n-1＞n+

n(n-1)

2

+n=

n2+3n

2

＞

n(n+1)

2

∴当n≥4时，af(2)+f(3)++f(n)=

n(n+1)

2

＜2ⁿ-2
h(4)=

4×5

2

-24+2=-4＜0n≥4时，

n(n+1)

2

-2n+2＜0，即

n(n+1)

2

＜2ⁿ-2
∴当n≥4时，af(2)+f(3)++f(n)=

n(n+1)

2

＜2ⁿ-2．

点评：本题是函数性质的综合题，本小题主要考查函数奇偶性的性质、函数奇偶性的应用、不等式的解法、导数在最大值、最小值问题中的应用等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于中档题．