Question

【题目】如图所示，三棱柱中，，、分别是、的中点.

（1）求证：平面；

（2）若平面，，，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】

（1）取的中点，连接、，证明四边形为平行四边形，可得出，再利用直线与平面平行的判定定理可证明出平面；

（2）证明出平面，并设，以点为坐标原点，、、为、、轴正方向，建立空间直角坐标系，计算出平面和平面的法向量，然后利用空间向量法求出平面与平面所成锐二面角的余弦值.

（1）取的中点，连接、，

在中，、分别是、的中点，

则，且，

又为的中点，，所以，，

从而有且，所以四边形为平行四边形，所以.

又因为平面，平面，因此，平面；

（2）因为，为的中点，所以，

又平面，得，

又因为，所以平面，从而，

又因为，，所以平面，从而有，

不妨设，，，所以.

由（1）知，所以平面.

以为坐标原点，、、为、、轴正方向，建立空间直角坐标系，则，，，，.所以，，.

所以，，.

设平面的法向量为，则，即，

取，则.

平面的法向量为，所以，

所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为.