题目内容
16．以下三个命题：①函数y=2sin（x+$\frac{π}{4}$）cos（x-$\frac{π}{4}$），在x∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]上的值域为[1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，2]
②函数f（x）=$\frac{2co{s}^{3}x-2co{s}^{2}x-cosx+1}{cosx-1}$的周期为π
③函数f（x）=2sin（3x-$\frac{π}{4}$）的图象和函数g（x）=2-2cos3x的图象关于点（$\frac{π}{8}$，1）对称
其中正确的是①③．
分析 求出函数y=2sin（x+$\frac{π}{4}$）cos（x-$\frac{π}{4}$），在x∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]上的值域，可判断①；求出函数f（x）=$\frac{2co{s}^{2}x-2co{s}^{2}x-cosx+1}{cosx-1}$的周期，可判断②；求出函数f（x）=2sin（3x-$\frac{π}{4}$）的图象关于点（$\frac{π}{8}$，1）对称的函数图象的解析式，可判断③．
解答 解：①函数y=2sin（x+$\frac{π}{4}$）cos（x-$\frac{π}{4}$）=2（$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinx+$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosx）（$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosx+$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinx）=（sinx+cosx）2=sin2x+1，
当x∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]时，2x∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，sin2x+1∈[1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，2]，故①正确；
②函数f（x）=$\frac{2co{s}^{3}x-2co{s}^{2}x-cosx+1}{cosx-1}$=2cos2x-1=cos2x，（x≠2kπ，k∈Z）的周期为2π，故②错误；
③函数f（x）=2sin（3x-$\frac{π}{4}$）的图象关于点（$\frac{π}{8}$，1）对称的函数图象的解析式为：g（x）=2-f（$\frac{π}{4}$-x）=2-2sin[3（$\frac{π}{4}$-x）-$\frac{π}{4}$）]=2-2sin（$\frac{π}{2}$-3x）=2-2cos3x，故③正确；
故正确的命题的序号为：①③，
故答案为：①③
点评 本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，此类题型往往综合较多的其它知识点，综合性强，难度中档．
| A． | 命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1” | |
| B． | 已知直线l1：ax+3y-1=0，l2：x+by+1=0，则l1⊥l2的充要条件是$\frac{a}{b}$=-3 | |
| C． | 命题“?x0∈R，使得x02+x0+1＜0”的否定是：“?x∈R，均有x2+x+1＜0” | |
| D． | 命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题． |
如图，正方形ABCD中，点P是射线BC上的任意一点（点B与点C除外），连接DP，分别过点C，A作直线DP的垂线，垂足为点E，F．