Question

已知点A（1，0），B（2，2），C（3，0）．矩阵M表示变换“顺时针旋转45°”，
（Ⅰ）写出矩阵M及其逆阵M^-1；
（Ⅱ）请求出△ABC在矩阵M下所得△A₁B₁C₁的面积．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用旋转变换矩阵直接可以求出相应的矩阵；（Ⅱ）由于△ABC在旋转变换下所得△A₁B₁C₁与△ABC全等，故三角形的面积不变，从而可求．

解答：解：（Ⅰ）M=

cos(-45°) -sin(-45°) sin(-45°) cos(-45°)

=

2 2 2 2 - 2 2 2 2

∵矩阵M表示变换“顺时针旋转45°”
∴矩阵M^-1表示变换“逆时针旋转45°”
∴M-1=

cos45° -sin45° sin45° cos45°

=

2 2 - 2 2 2 2 2 2

（Ⅱ）三角形ABC的面积S△ABC=

1

2

×(3-1)×2=2，
由于△ABC在旋转变换下所得△A₁B₁C₁与△ABC全等，故三角形的面积不变，即S△A1B1C1=2．

点评：此题主要考查矩阵的乘法及矩阵变换的性质在图形变化中的应用．