Question

已知函数f（x）=ax²+lnx，（x＞0）
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）令g（x）=x³+（a-2e）x²+（a+e²）x（其中e为自然对数的底数），讨论函数H（x）=f（x）-g（x）的零点的个数；
（3）若函数y=f（x）的图象上任意两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），（x₁＜x₂），都满足（其中k是直线AB的斜率），则称函数y=f（x）为优美函数，当a=0时，函数f（x）是否是优美函数，如果是，请证明，如果不是，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求函数的导函数f′（x）=，注意到定义域为（0，+∞），故解不等式f′（x）＞0或f′（x）＜0等价于解含参数的一元二次不等式，讨论参数的范围即可
（2）先将函数H（x）=f（x）-g（x）的零点的个数问题，转化为方程根的个数问题，进而转化为函数与函数M（x）=（x-e）²+a的图象交点个数问题，分别研究这两个函数的性质特别是单调性和极值，即可讨论出函数H（x）=f（x）-g（x）的零点的个数
（3）当a=0时，f（x）=lnx，，若f（x）是优美函数，则，即，即，故本题的关键是看上式是否成立，证明此不等式成立需利用换元法，并构造新函数，利用导数研究所构造函数的性质
解答：解：
当a≥0时，f（x）的递增区间是（0，+∞）；
当a＜0时，f（x）的递增区间是，递减区间是；
（2）H（x）=f（x）-g（x）=lnx-x³+2ex²-（a+e²）x
由H（x）=0得：
令，则
当0＜x＜e时，ϕ'（x）＞0，当x＞e时，ϕ'（x）＜0
所以当x=e时，ϕ（x）取最大值，且当x→0时，→-∞
当x→+∞时，→0
令M（x）=（x-e）²+a
于是当时，H（x）有两个零点；
当时，H（x）有一个零点；
当时，H（x）没有零点．
（3）当a=0时，f（x）=lnx  
若f（x）是优美函数，则，即，于是
解得：…、①
令，则①可化为
令F（t）=lnt-t+1，则F（t）在（1，+∞）上递减，当t=1时取最大值F（1）=0、F（t）=lnt-t+1＜0
令，于是
当G（t）在（1，+∞）上递增，当t=1时取最小值G（1）=0、
于是①成立，所以
即
所以函数f（x）为优美函数．
点评：本题综合考察了利用导数求函数单调区间的方法，利用导数研究函数的零点个数问题的方法，利用导数证明不等式的方法