Question

已知函数f（x）=x²e^ax，其中a≤0，e为自然对数的底数．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间[0，1]上的最大值．

Answer 1

分析：（1）先确定函数的定义域然后求导数fˊ（x），讨论a，在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0即可．
（2）欲求函数f（x）在区间[0，1]上的最大值，先求f（x）在区间[0，1]上的单调性，讨论a的值，分别求出最大值．

解答：解：（Ⅰ）f'（x）=x（ax+2）e^ax．
（i）当a=0时，令f'（x）=0，得x=0．
若x＞0，则f'（x）＞0，从而f（x）在（0，+∞）上单调递增；
若x＜0，则f'（x）＜0，从而f（x）在（-∞，0）上单调递减．
（ii）当a＜0时，令f′(x)=0，得x(ax+2)=0，故x=0或x=-

2

a

.
若x＜0，则f'（x）＜0，从而f（x）在（-∞，0）上单调递减；
若0＜x＜-

2

a

，则f′(x)＞0，从而f(x)在(0，-

2

a

)上单调递增；
若x＞-

2

a

，则f′(x)＜0，从而f(x)在(-

2

a

，+∞)上单调递减．
（Ⅱ）（i）当a=0时，f（x）在区间[0，1]上的最大值是f（1）=1．
（ii）当-2＜a＜0时，f（x）在区间[0，1]上的最大值是f（1）=e^a．
（iii）当a≤-2时，f（x）在区间[0，1]上的最大值是f(-

2

a

)=

4

a2e2

.

点评：本小题主要考查函数的导数，单调性等基础知识，考查综合利用数学知识分析问题、解决问题的能力，属于基础题．