Question

【题目】已知函数f（x）=lnx﹣a（x﹣1），g（x）=ex（Ⅰ）若函数f（x）在区间（0，9]为增函数，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）当a≠0时，过原点分别作曲线y=f（x）与y=g（x）的切线l1 ， l2 ， 已知两切线的斜率互为倒数，证明： ＜a＜ ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由f（x）=lnx﹣a（x﹣1）得， f′（x）= ﹣a= ，
∵函数f（x）在区间（0，9]为增函数，
∴f′（x）≥0在区间（0，9]恒成立，
即 ≥0在区间（0，9]恒成立，
∴a≤ ，而 = ，
∴a∈（﹣∞， ]；
（Ⅱ）证明：设切线l2的方程为y=k2x，切点为（x2 ， y2），则y2=ex2 ，
k2=g′（x2）=ex2= ，
所以x2=1，y2=e，则k2=e．
由题意知，切线l1的斜率为k1= = ，l1的方程为y= x；
设l1与曲线y=f（x）的切点为（x1 ， y1），则k1=f′（x1）= ﹣a= = ，
所以y1= =1﹣ax1 ， a= ﹣ ．
又因为y1=lnx1﹣a（x1﹣1），消去y1和a后，
整理得lnx1﹣1+ ﹣ =0．
令m（x）=lnx﹣1+ ﹣ =0，
则m′（x）= ﹣ = ，m（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．
若x1∈（0，1），因为m（ ）=﹣2+e﹣ ＞0，m（1）=﹣ ＜0，所以x1∈（ ，1），
而a= ﹣ 在x1∈（ ，1）上单调递减，所以 ＜a＜ ．
若x1∈（1，+∞），因为m（x）在（1，+∞）上单调递增，且m（e）=0，则x1=e，
所以a= ﹣ =0（舍去）．
综上可知， ＜a＜ ．
【解析】（Ⅰ）求出函数的导数，问题转化为即 ≥0在区间（0，9]恒成立，即a≤ ，求出a的范围即可；（Ⅱ）设切线l2的方程为y=k2x，从而由导数及斜率公式可求得切点为（1，e），k2=e；再设l1的方程为y= x；设l1与曲线y=f（x）的切点为（x1 ， y1），从而可得y1= =1﹣ax1 ， a= ﹣ ；结合y1=lnx1﹣a（x1﹣1）可得lnx1﹣1+ ﹣ =0，再令m（x）=lnx﹣1+ ﹣ ，从而求导确定函数的单调性，从而确定 ＜a＜ ，问题得证．
【考点精析】掌握利用导数研究函数的单调性是解答本题的根本，需要知道一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减．