Question

设函数f（x）=|x-1|，g（x）=|x-2|．
（Ⅰ）解不等式f（x）+g（x）＜2；
（Ⅱ）对于实数x，y，若f（x）≤1，g（y）≤1，求证|x-2y+1|≤5．

Answer 1

分析：（Ⅰ）不等式f（x）+g（x）＜2，即|x-1|+|x-2|＜2，令 y=x-1|+|x-2|，做出函数y的图象，它与直线y=2的交点坐标为（

1

2

，2）和(

5

2

，2)，由此求得f（x）+g（x）＜2的解集．
（Ⅱ）利用绝对值不等式的性质可得|x-2y+1|=|（x-1）-2（y-1）|≤|x-1|+2|y-1|，同理可得|x-1|+2|y-1|
≤f（x）+2g（y）+2，结合条件得出结论．

解答：解：（Ⅰ）不等式f（x）+g（x）＜2，即|x-1|+|x-2|＜2，
令 y=x-1|+|x-2|，则函数y=

3-2x≤1 ，  x≤1 1 ，  1＜x＜2 2x-3  ， x ≥2

，做出函数y的图象，
它与直线y=2的交点坐标为（

1

2

，2）和(

5

2

，2)．

所以f（x）+g（x）＜2的解集为(

1

2

，

5

2

)．----（5分）
（Ⅱ）因为 f（x）=|x-1|，g（y）=|y-2|，
而|x-2y+1|=|（x-1）-2（y-1）|≤|x-1|+2|y-1|=|x-1|+2|（y-2）+1|
≤|x-1|+2|（y-2）|+2=f（x）+2g（y）+2≤5．
所以|x-2y+1|≤5．--------（10分）

点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，分段函数的应用，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．